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历届试题 矩阵翻硬币  

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问题描述

　　小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。

　　随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。

　　对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。

　　其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。

　　当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。

　　小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。

　　聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。

输入格式

　　输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。

输出格式

　　输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。

样例输入

2 3

样例输出

1

数据规模和约定

　　对于10%的数据，n、m <= 10^3；

　　对于20%的数据，n、m <= 10^7；

　　对于40%的数据，n、m <= 10^15；

　　对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

看n和m的大小以及要求的时间，很明显的大数加规律题，打表找规律，发现最后答案是

sqrt(n)向下取余 乘以 sqrt(m)向下取余

求大整数平方根用二分法在给定的数据规模下最坏几千次就可以算出来了

打表代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{
freopen("D:\\test.txt", "w", stdout);
const int maxn = 50, maxm = 50;
const int mr = maxn + 5, mc = maxm + 5;
int a[mr][mc];
int n, m;
for (n = 1; n <= maxn; n++) {
for (m = 1; m <= maxm; m++) {
memset(a, 0, sizeof(a));
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
for (int k = 1; i * k <= n; k++) {
for (int q = 1; j * q <= m; q++) {
a[i * k][j * q] = !a[i * k][j * q];
}
}
}
}
int cnt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
if (a[i][j]) {
cnt++;
}
}
}
printf("n:%d m:%d cnt:%d\n", n, m, cnt);
}
}
return 0;
}

Java大数二分法求平方根：

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main {

public static void main(String[] args) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
BigInteger n, m, ans;

n = in.nextBigInteger();
m = in.nextBigInteger();

ans = (sqrt(n)).multiply(sqrt(m));
System.out.println(ans);

in.close();
}

static BigInteger sqrt(BigInteger x) {
BigInteger left, right, mid = null, t;
BigInteger TWO = BigInteger.valueOf(2);
left = BigInteger.ZERO;
right = new BigInteger(x.toString());
while (true) {
int cmp = left.compareTo(right);
if (cmp > 0) break;
mid = (left.add(right)).divide(TWO);
t = mid.multiply(mid);
if (t.compareTo(x) == 0) return mid;
if (t.compareTo(x) < 0) {
left = mid.add(BigInteger.ONE);
} else {
right = mid.subtract(BigInteger.ONE);
}
}
return right;
}
}