动态规划之背包问题

一、01背包

1.雏形：有N件物品和一个容量为v的背包，第i件物品体积为c[i]，价值为w[i]。求怎样能使背包的物品价值最大？

2.特点：每件物品只有一件，可以选择放（1）或不放（0）

3.状态转移方程：

二维：F[i][v]=max{F[i-1][v],F[i-1][v-c[i]]+w[i]}

F[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可获得的最大价值,

前者是不放第i件（前i-1件）放入容量为v的背包中的总价值，

后者是前i-1件的总价值+第i件的价值。

一维（空间优化）：F[v]=max{F[v],F[v-c[i]]+w[i]}

4.例题

采药

input

输入的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），

用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。

接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，

分别表示采摘某株草药的时间（1 <= t <= T）和这株草药的价值（1 <= v <= 100000）。

output

输出包括一行，这一行只包含一个整数，

表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

input

100 5

77 92

22 22

29 87

50 46

99 90

output

133

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int dp[1005]={0};
int T,M;
scanf("%d %d",&T,&M);
for(int i=0;i<M;i++)
{
int t,v;
scanf("%d %d",&t,&v);
for(int j=T;j>=t;j--)
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-t]+v);
}
}
printf("%d\n",dp[T]);
return 0;
}

二、完全背包

1.雏形：有N件物品和一个容量为v的背包，每个物品都有无限件可用，第i件物品体积为c[i]，价值为w[i]。

求怎样能使背包的物品价值最大？

2.特点：每件物品都有无数件可用。

3.状态转移方程：

二维：F[i][v]=max{F[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

注：

顺序：我们顺序写，这里的max中的两项就是当前状态的值，因为每种背包都是无限的。当我们把i从1到N循环时，

f[v]表示容量为v在前i种背包时所得的价值，这里我们要添加的不是前一个背包，而是当前背包。

所以我们要考虑的当然是当前状态。

4.例题

input

XXX上山去采药。XXX有一个容量为m(1<=m<=1000)的背包，

他所采集的药材的总重量不能大于背包的容量。

已知共有n(1<=n<=1000 )种药材，每种药材都有无限多，

并且知道每种药材的重量w(1<=w<=m)及价值v(1<=v<=100000)，

如何选择，才能使得采到的药材的总价值最大？

第1行为两个整数m和n，分别为背包的容量及药材的种数。

第2至n+1行每行两个整数w和v，分别表示每种药材的重量及价值。

output

能采到的药材的最大总价值

input

100 5

77 92

33 50

34 60

50 46

99 161

output

161

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int main()
{
int dp[1005];
int m,n;
int w[1005];
int v[100001];
scanf("%d %d",&m,&n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
memset(dp,0,sizeof dp[1005]);
scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
for(i
b168
nt j=w[i];j<=m;j++)
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
}
}
printf("%d\n",dp[m]);
return 0;
}

三、多重背包

1.雏形：有N件物品和一个容量为v的背包，每个物品都有无限件可用，第i件物品体积为c[i]，价值为w[i]。

求怎样能使背包的物品价值最大？

2.特点：第i件物品最多有n[i]件。

3.状态转移方程：

二维：F[i][v]=max{F[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

四、区别

1.01背包和完全背包

01背包是顺序，完全背包是逆序。

首先想想为什么01背包中要按照v=V..0的逆序来循环。

这是因为要保证第i次循环中的状态 dp[i][v]是由状态dp[i-1][v-c[i]]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果dp[i-1][v-c[i]]。

而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果dp[i][v-c[i]]，所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。

2.完全背包和多重背包

这两者很类似。多重背包的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。

部分参考http://www.cppblog.com/tanky-woo/archive/2010/07/31/121803.html