陈省身文集53——大范围微分几何若干新观点


本文系作者应美国数学会之邀，在1945年夏季大会上的演讲，发表于《Bulletin of American Mathematical Society》第52卷，1946年。中译者：王善平。

1.引言

大范围微分几何研究流形中给定的几何实在(geometric being)的局部性质与该流形的整体性质之间的关系。该流形在下述意义下是可微的：它被一组坐标邻域所覆盖，这些坐标邻域都有同样个数的坐标，并且每两个这样的不同的坐标系在它们的公共区域中用一个至少一阶可微的变换来联系。这后一假定可以使我们可以在局部几何的研究中使用微分，进而导致由欧拉、高斯和蒙日首先研究的那些几何性质。

作为这类研究课题的一个例子，我们考虑一个闭曲面S，它（至少二阶）可微嵌入三维欧式空间中。令K为S的高斯曲率，dA为S的面积元素。则经典的高斯-博内公式断言：

（1）(1/2pi)∫∫_S KdA=2(1-p),

这里p是S的亏格。这个公式用微分不变量来表示S的亏格p这一拓扑不变量。换句话说，p完全由S的局部性质所决定。

另一个例子考虑嵌入于欧式平面的一条闭曲线C。如果C可求长并有长度l，以及C所围区域的面积为A，那么

（2）l^2-4piA>=0,

其中等号仅当C为圆周时成立。这就是所谓的等周不等式，它最近被意外地从积分几何导出，后者是研究微分不变量的积分的学科。

这类研究问题有两个方面：局部方面和整体方面。经过几十年的大量工作，局部方面的问题得到了广泛研究和发展，这些成果集中体现在张量分析理论中。虽然张量分析为处理大多数局部问题提供了很好的工具，但是对整体问题的研究自然需要引入新的概念和改变人们迄今说遵循的经典处理方法。本文的主要目的是强调在对赋有几何实在的流形的整体研究中，考虑与该流形有关的新的拓扑空间的重要性。事实上这个想法对于微分几何的局部方面和整体方面的研究都很重要。关于局部问题，埃利·嘉当对此当然是很熟悉的，他为他的几何实在（仿射联络、射影联络、正则联络等等）的一般理论引进了切空间的概念。嘉当意义下的切空间并不总是切向量空间，这构成了难以理解他的工作的原因之一。另一方面，近来关于拓扑学中纤维丛的工作（斯蒂弗尔、惠特尼、费尔德堡、埃雷斯曼、庞特里亚金、斯廷罗德等等）看来为建立嘉当思想的整体理论奠定了基础。作者认为，把这两部分工作结合起来会为大范围微分几何的研究提供比迄今为止所得到的更好的概念和工具。本文主要讨论由这一观点而引起的问题的不同方面。

在具体展开以前，我先简短总结一下讨论的要点。我们的问题是研究微分流形上以局部坐标系形式给出的几何实在，这些局部坐标系的分量在坐标变化时服从确定的变换规则。我们强调，这样的问题一般总有可能在某种意义下定义在与该流形关联的一个自然的纤维丛上。于是这个几何实在以唯一的方式在纤维丛中定义了一组线性微分形式，它给出了该几何实在的所有局部性质。对于黎曼几何来说，这个自然的纤维丛就是流形上全部标架所形成的空间，而相应的微分形式给出的实际上是列维-齐维塔平行。关联的纤维丛的性质由解决所谓等价问题而得到最佳的确定，这个等价问题对于黎曼几何来说就是形式问题。给定了纤维丛中的线性微分形式集合，就可以通过格拉斯曼分析运算得到更高阶的微分形式。这些微分形式定义了上链，并且当它们是恰当的时候定义了闭上链。研究由关联的纤维丛向给定流形的投射而产生的两者的上链和闭上链之间的相互关系，将会导致对几何实在整体理论的更深刻的理解。下面试图表明，在最简单的情况下这样的想法会导致怎样的结果。虽然这将是本文的主要内容，但这并不意味着纤维丛理论在微分几何只有这样的应用。事实上，有迹象表明它可能还有其他富有成果的应用。因此看来值得对这一领域做更彻底的研究。

2.格拉斯曼代数

在嘉当方法以前有所谓的格拉斯曼代数。它可以用形式代数的方法定义如下：令K是特征0的域，令V(n,K)是K上的n维向量空间；那么V(n,K)上的格拉斯曼代数H就是K上满足以下条件的超复系统：

①H含有单位元1和V(n,K)的所有元素，并且由这些元素（通过超复系统运算）生成。

②如果x,y属于V(n,K)，则它们的乘积满足以下交换规则：

（3）xy=-yx。

③H中的元素只满足从①和②导出的关系。

3.E.嘉当的微分运算

格拉斯曼代数被弗罗贝尼乌斯和达布成功地用于解决普法夫问题。所谓双线性共变式就是二次外微分式。然而是E.嘉当首先系统地使用一种与格拉斯曼代数密切相关并涉及高次外微分形式的运算。

令M^n是一个至少二阶可微的n维微分流形。在M^n的点P上，反变向量与共变向量构成了两个（实域上的）向量空间，这两个空间在它们互为另一个的线性形式空间的意义下是对偶的。P上线性微分形式的概念同于共变向量的线性形式的概念。因为令x^1,,x^n为P的局部坐标，共变向量关于x^i坐标的分量是X_i，则微分形式

（6）w=∑[i=1->n]X_idx^i,

在它独立于局部坐标系的选择的这个意义下是内蕴的。反之，内蕴形式w在每个局部坐标系中都有一组构成共变向量的分量。

对于在M^n的点P上线性微分形式向量空间，我们构造格拉斯曼代数。这种格拉斯曼代数的形式叫做外微分形式或简称微分式。

外微分形式就是多重积分理论中积分号下的形式。事实上，令w是定义在流形M上的m次形式；令K^m是M^n上（组合拓扑意义下的）维数为m的链，即它是一些系数是整数、有理数或实数的欧式空间中的单纯形的像的和，这些像是通过至少二阶可微的映射得到的；则可以在K^m上定义w的积分。令dK^(m+1)表示维数为m+1的链K^(m+1)的边缘，则斯托克斯定理可以写成：

（13）∫_dK^(m+1) w=∫_K^(m+1) dw。

要看清斯托克斯定理的这种形式与通常形式之间的联系，只需注意到

（14a）d(Pdx+Qdy)=(Q_x-P_y)dxdy,

（14b）d(Pdx+Qdy+Rdz)=(R_y-Q_z)dydz+(P_z-R_x)dzdx+(Q_x-P_y)dxdy。

4.纤维丛

纤维丛的一个简单例子就是三维欧式空间中所有与某一球面相切的非零向量形成的流形。这是个拓扑流形，虽然很特殊。然而结果表明，具有类似性质的流形在拓扑学对微分几何的应用中发挥了重要的作用。在相切于球面的向量的例子中，以下三个事实值得注意：

①由同一点上的切向量形成的空间是相互同胚的，因而同胚于一个固定的空间，我们称作F_0。

②邻域U中所有点上的[全体]切向量同胚于U与F_0的拓扑积。特别地，如果P∈U，则有一个依赖于P和U的同胚T，它把P上的切向量映到F_0。

③在②的记号中，我们把T写成T(P,U)。如果P属于另一个邻域V，则映射T(P,V)T^-1(P,U)是F_0自身上的同胚。可以证明T能够这样选择，使得T(P,V)T^-1(P,U)∈G，这里G是F_0中的旋转群或仿射群。

5.黎曼几何

在标架e_1,,e_n中，我们有

（19）dP=w_1e_1+…+w_ne_n，

这里w_1,,w_n是线性微分形式。

（20）ds^2=(w_1)^2+…+(w_n)^2。

所以形式w_i(i=1,,n)的平方和是给定的（通常）二次微分式。

定理5.1：纤维丛中存在唯一的一组线性微分形式w_ij，使得

（21）de_i=∑[j]w_ije_j

和以下等式

（23）d(dP)=0

成立。

等式（21）可以这样解释：它提供了把距离点P无限近的点上的一个向量转至P上的向量的一种手段。这实际上就是人们已知的列维-齐维塔平行的概念。

定理5.2：令M是n维黎曼流形并令F为M的所有标架形成的纤维丛，则可以在(n(n+1)/2维的)F中唯一确定一组n(n+1)/2个线性无关的线性微分形式w_i、w_ij，它们满足等式（19）dP=w_1e_1+…+w_ne_n、（21）de_i=∑[j]w_ije_j和（24）dw_i-∑[j]w_jw_ji=0。

如果dζ=0则称向量ζ+dζ平行于ζ，利用（36）ζ=∑X^if_i和（37）df_i=∑θ^j_if_j式，可以把它写成

（38）dX^i=∑θ^i_jX^j=0。

容易认出，这些方程就是定义列维-齐维塔平行的那些著名方程。

黎曼几何中一个重要的事实就是，你不仅要考虑黎曼流形本身而且必须考虑流形上的纤维丛。我们的方法是，直接考虑纤维丛。而通常的张量分析方法通过强调局部坐标系来回避它。

 

附：H.霍普夫关于《大范围微分几何若干新观点》的评论

此篇演讲（作于1945年9月）表明，大范围微分几何的新时代开始了。这个新时代以纤维丛的拓扑理论与嘉当微分方法的综合为特征。

提纲挈领的开场白（第1节）后，作者简明扼要地介绍了格拉斯曼代数（第2节）、嘉当微分方法（第3节）、纤维丛（第4节）和黎曼几何（第5节）。第5节中，嘉当方法被置于中心地位；这里研究了带有纤维丛F的黎曼流形M，F由所有的单位向量的正交n-标架形成；熟知的形式w_i,w_ij被作为F中的形式来解释。

紧接着的一节（第6节）通过“形式问题”（即这样的问题：何时形式g_ijdx^idx^j与g^*_ijdx^*idx^*j定义了等距的黎曼度量）表明，引入纤维丛（这里的纤维丛是正交群丛）是自然的和必要的，甚至对于“小范围”微分几何也是如此。类似的过程不仅适用于黎曼几何，也适用于其他的几何理论；这通过道路几何的例子得以说明。

第7节论述底流形M与纤维丛F之间的关系，与F“相伴”着纤维丛F^(p)，它由M上所有p个正交单位向量形成，M=F^(0)。特别地，（应用德·拉姆定理，从而可以把微分形式等同于闭上链）讨论了通过F到F^(p)的自然投射而引入的两者的微分形式之间的关系。此外，这一研究对于理解艾伦多佛-韦伊-陈对高斯-博内公式的推广是很重要的。