小波分析笔记一:小波产生的背景和历史
2017-01-20 00:48
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最近在看哈工大教授冉启文的小波分析的视频,讲的非常好,推荐给大家。
这里是第一讲笔记。
第一讲:小波产生的背景和历史
一、“点”的概念(重要)
1、以前我们认为在一维空间,点就是一个数;在二维空间,点就是两个数(x,y),N维空间的点 (x0,x1...xn)以此类推。
2、线性代数就是在研究3个事情。
(1)线性空间上的点怎么表达
(2)点怎么巧妙的表达
(3)同一个点在不同“基”之下的表示方法之间有什么关系。
3、把N维空间所有点都直接表示出来是不可能的,所以引入了“基”的概念:用更少的资源把要表达的对象全部表达出来的方法。
4、对于同样一个点(信号),针对不同的问题,应该采用不同的基。
5、不同“基”之间的转换关系是一个转换矩阵,而且是一个可逆的矩阵!而且,把一个标准正交基转化为另一个标准正交基的矩阵就是正交矩阵。如果都是标准正交基的话,一个向量的长度是不会变的!
6、复杂的点:
(1)点 = 数列
P(......x-1,x0,x1.......xn) 这些点平方可和,也就是能量有限
(2)进一步复杂:点 = 函数
如果让你表示一个N维的点,要如何表达呢?如何表达才让别人容易接受。这个N维空间的点太抽象了,无法 像二维,3维那样简单的作图。所以这时候就要引入 点=函数这个概念,用函数来表示N维的点,即将空间的“基”看作横坐标,纵坐标为幅值,那么将这些点连起来,就是一条折线。那么这条折线就代表这个N维空间中的一个点。
7、点 = 函数
(1)周期函数
常见的就是f(x+2pi) = f(x)
且f(x)在一个周期内能量有限
(0,2pi)的空间内点的表达
(2)非周期函数
f(x)在正负无穷内能量有限
(-∞,+∞)的空间内点的表达
8、傅里叶分析
1807年傅里叶提出。
对调和分析的推动作用在于,当我们想要分析一个函数时,如果这个函数很难分析,我们可以转化一下这个函数的基去分析,就像我们在线性代数中对点的分析一样。
9、傅里叶变换
1908(1910) Haar构造了一个函数h(t),具体请参考相关资料。但是当时未引起任何注意,直到1980年之后的小波盛行。
他这说明了傅里叶变换其实没什么特别有意义的东西,傅里叶变换只是使用了三角函数作为基,而我完全可以使用其他函数作为基嘛,比如h(t)
10、加窗傅里叶变换
(1) 意义:f(t)在时间点 t0 附近的频率成分(Gabor 1946) -------局部频率的概念,悖论:瞬时频率,只出现一下,算是无限高的频率还是某个频率呢?
(2)加窗傅里叶的问题:窗的宽度与频率的不匹配,高频窄窗,低频宽窗。
(3)1978年解决了上述问题
(4)1980‘s Morlet小波。
11、傅里叶变换的缺陷
只能判断信号中有这个频率,却不能判断这个频率出现的时间。那么加窗傅里叶呢?下回分析
这里是第一讲笔记。
第一讲:小波产生的背景和历史
一、“点”的概念(重要)
1、以前我们认为在一维空间,点就是一个数;在二维空间,点就是两个数(x,y),N维空间的点 (x0,x1...xn)以此类推。
2、线性代数就是在研究3个事情。
(1)线性空间上的点怎么表达
(2)点怎么巧妙的表达
(3)同一个点在不同“基”之下的表示方法之间有什么关系。
3、把N维空间所有点都直接表示出来是不可能的,所以引入了“基”的概念:用更少的资源把要表达的对象全部表达出来的方法。
4、对于同样一个点(信号),针对不同的问题,应该采用不同的基。
5、不同“基”之间的转换关系是一个转换矩阵,而且是一个可逆的矩阵!而且,把一个标准正交基转化为另一个标准正交基的矩阵就是正交矩阵。如果都是标准正交基的话,一个向量的长度是不会变的!
6、复杂的点:
(1)点 = 数列
P(......x-1,x0,x1.......xn) 这些点平方可和,也就是能量有限
(2)进一步复杂:点 = 函数
如果让你表示一个N维的点,要如何表达呢?如何表达才让别人容易接受。这个N维空间的点太抽象了,无法 像二维,3维那样简单的作图。所以这时候就要引入 点=函数这个概念,用函数来表示N维的点,即将空间的“基”看作横坐标,纵坐标为幅值,那么将这些点连起来,就是一条折线。那么这条折线就代表这个N维空间中的一个点。
7、点 = 函数
(1)周期函数
常见的就是f(x+2pi) = f(x)
且f(x)在一个周期内能量有限
(0,2pi)的空间内点的表达
(2)非周期函数
f(x)在正负无穷内能量有限
(-∞,+∞)的空间内点的表达
8、傅里叶分析
1807年傅里叶提出。
对调和分析的推动作用在于,当我们想要分析一个函数时,如果这个函数很难分析,我们可以转化一下这个函数的基去分析,就像我们在线性代数中对点的分析一样。
9、傅里叶变换
1908(1910) Haar构造了一个函数h(t),具体请参考相关资料。但是当时未引起任何注意,直到1980年之后的小波盛行。
他这说明了傅里叶变换其实没什么特别有意义的东西,傅里叶变换只是使用了三角函数作为基,而我完全可以使用其他函数作为基嘛,比如h(t)
10、加窗傅里叶变换
(1) 意义:f(t)在时间点 t0 附近的频率成分(Gabor 1946) -------局部频率的概念,悖论:瞬时频率,只出现一下,算是无限高的频率还是某个频率呢?
(2)加窗傅里叶的问题:窗的宽度与频率的不匹配,高频窄窗,低频宽窗。
(3)1978年解决了上述问题
(4)1980‘s Morlet小波。
11、傅里叶变换的缺陷
只能判断信号中有这个频率,却不能判断这个频率出现的时间。那么加窗傅里叶呢?下回分析
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