第三章 函数的增长 3.1 渐进记号

3.1-1 假设f（n）与g(n)都是渐进非负函数。使用θ记号的基本定义来证明max（f(n),g(n)）=θ(f(n)+g(n))。

解：c1(f(n)+g(n))<max(f(n),g(n))<c2(f(n)+g(n))

c1=1/2,c2=2时，恒成立。

3.1-2 证明：对任意实常量a和b，其中b>0,有

(n+a)b=θ(nb)

解：c1nb≤(n+a)b≤c2nb

c1≤(1+an)≤c2

c1=1,c2=2时，恒成立。

3.1-3 解释为什么“算法A的运行时间至少是O(n2)”这一表述是无意义的。

O:表示一个函数的渐进上界。

既然是上界，用“至少来形容”，就不恰当了吧。

3.1-4 2n+1=O(2n)成立吗？22n=O(2n)成立吗？

O:表示一个函数的渐进上界。

1）证明，2n+1=O(2n)是否成立

2n+1≤c22n,c2=2时成立

所以，成立。

2）证明，22n=O(2n)是否成立

22n≤c22n,c2为正无穷

所以，不成立。

3.1-5 证明定理3.1

定理3.1：对于任意两个函数f(n)和g(n),我们有f(n)=θ(g(n)),当且仅当f(n)=O(g(n))且f(n)=Ω(g(n))

b<f<a,当且仅当f<a,f>b。

3.1-6 证明：一个算法的运行时间为θ（g(n)）当且仅当其最坏情况运行时间为O(g(n)),且其最好情况运行时间为Ω（g(n)）

同上

3.1-7 证明：o(g(n))⋂w(g(n))为空集

因为这两个是紧确上界和下界。

3.1-8 可以扩展我们的记号到有两个参数n和m的情形，其中的n和m可以按不同速率独立地趋于无穷。对于给定的函数g(n,m),用O（g（n,m））来表示一下函数集：

O(g(n,m))={f(n,m):存在正常量c,n0和m0,使得对所有n≥n0或m≥m0,有0≤f(n,m)≤cg(n,m)}

定义如下：

Ω(g(n,m))={f(n,m):存在正常量c,n0和m0,使得对所有n≥n0或m≥m0,有0≤cg(n,m)≤f(n,m)}