POJ 1061青蛙的约会 --扩展欧几里德算法

POJ 1061青蛙的约会     

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input
输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output
输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

拿到这道题之后，很快就会把它转化为 ax+by=d的求解问题（a,b,d已知，求x,y)。这个问题如何求解呢。
如果用普通的方法穷举会超时的。
 然后，在网上看了看大家的方法。原来这就是扩展的欧几里得问题。
 用欧几里得求两个数的最大公约数大家都会。但是这个扩展的欧几里得就不那么好理解了。
其实下面时找的别人的分析过程：（虽然这样弄过来有些不对，但是学习嘛毕竟...）
 在网上找的对扩展的欧几里得的理解：
扩展欧几里德算法理解（By
ruiqi）

欧几里德算法很好理解了。但是扩展了一下却一直弄的不明不白。

网上关于这个的讲解是很多了。但总体说来都不是太好理解。

思索了好长时间,总结了下面的思路:(自我感觉良好了)

扩展欧几里德定理

对于与不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数。那么存在整

数 x,y 使得 gcd(a,b)=ax+by。(貌似 x,y 也是唯一的,这个我不是太清楚的)。

最重要的是怎么理解下面的代码了:

#inc lude<iostream>

using namespace std;

int x,y,q;

void extend_Eulid(int a,int b)

{

if (b==0)

{

x=1; y=0; q=a;

}

else

{

extend_Eulid(b,a%b);

int temp=x;

x=y; y=temp-a/b*y;

}

}

int main()

{

int a,b;

cin>>a>>b;

if (a<b) swap(a,b);

extend_Eulid(a,b);

printf("%d=(%d)*%d+(%d)*%d\n",q,x,a,y,b);

}

求解 x,y 的方法的理解

我们不妨设 a>b。

1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;

2,ab<>0 时

设 ax1 +by1 =gcd(a,b);

bx2 +(a%b)y2 =gcd(b,a%b);

根据朴素欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a%b);

则:ax 1 +by1 =bx2 +(a%b)y2 ;

即:ax 1 +by1 =bx2 +(a-(a/b)*b)y2 =ay2 +bx2 -(a/b)*by2 ;

根据恒等定理得:x1 =y2 ; y1 =x2-(a/b)*y2 ;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.

上面的思想是递归定义了,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以

结束。

有了这个分析,extend_Eulid 函数的理解也就不难了。

理解了欧几里得，这道题算是解了一半。然后要做的就是对普通的ax+by=d(d并不一定是gcd(a,b))求解。

(http://blog.csdn.NET/SwordHoly/article/details/4423543 http://blog.csdn.net/mazheng1989/article/details/7054869
)

#include<stdio.h>  

  

//please declare parameters here.  

long long k,t,d;  

  

//please declare functions here.  

void extend_gcd(long long a,long long b)  

{  

    if(b==0)  

    {  

        k=1;  

        t=0;  

        d=a;  

    }  

    else  

    {  

        extend_gcd(b,a%b);  

        long long temp;  

        temp=k;  

        k=t;  

        t=temp-(a/b)*t;  

    }  

}  

int main()  

{  

    freopen("input.txt","r",stdin);  

    long long a,b;  

    long long int x,y,m,n,l;  

    //input your ...  

    while(scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF)  

    {  

        a=m-n;  

        b=y-x;  

        if(a<0)  

        {  

            a=-a;  

            b=-b;  

        }  

        extend_gcd(a,l);  

        if(b%d!=0)  

        {  

            printf("Impossible\n");  

        }  

        else  

        {  

            k=k*b/d;  

            t=t*b/d;  

            l=l/d;  

            if(k>=0)  

                k=k%l;  

            else  

                k=k%l+l;  

            if(k==0)  

                k=l;  

            printf("%lld\n",k);  

        }  

//      printf("%lld %lld %lld %lld %lld",x,y,m,n,l);  

    }  

  

    return 0;  

}