Hdu 4828 Grids【卡特兰数】

Grids

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Problem Description

　　度度熊最近很喜欢玩游戏。这一天他在纸上画了一个2行N列的长方形格子。他想把1到2N这些数依次放进去，但是为了使格子看起来优美，他想找到使每行每列都递增的方案。不过画了很久，他发现方案数实在是太多了。度度熊想知道，有多少种放数字的方法能满足上面的条件？

 

Input

　　第一行为数据组数T(1<=T<=100000)。

　　然后T行，每行为一个数N(1<=N<=1000000)表示长方形的大小。

 

Output

　　对于每组数据，输出符合题意的方案数。由于数字可能非常大，你只需要把最后的结果对1000000007取模即可。

 

Sample Input

2
1
3

 

Sample Output

Case #1:
1
Case #2:
5
Hint
对于第二组样例，共5种方案，具体方案为：



思路：

1、通过手写样例/暴力打表都不难看出来前几项：

1 2 5 14 42.很明显的卡特兰数。

2、那么分析数据范围，N比较大，O(n^2)的递推肯定是会T掉，那么考虑使用公式：F【n+1】=（4*n-2）/（n+1）*ans【n】；

因为取模操作，又有除法，那么我们使用逆元求解即可。

O(n)预处理出答案，然后O（1）查询即可。

Ac代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
#define ll __int64
#define mod 1000000007
ll ans[1000500];
int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int ans=ex_gcd(b,a%b,x,y);
int tmp=x;
x=y;
y=tmp-a/b*y;
return ans;
}
int mod_inverse(int a,int m)
{
int x,y;
ex_gcd(a,m,x,y);
return (x%m+m)%m;//如果直接求解出来的x是一个负数，那么显然我们要将其转化成正数。
}
void init()
{
ans[0]=1;
for(int i=1;i<=1000005;i++)
{
ans[i]=((((4*i-2)*ans[i-1])%mod)*mod_inverse(i+1,mod))%mod;
}
}
int main()
{
init();
int kase=0;
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int n;
scanf("%d",&n);
printf("Case #%d:\n",++kase);
printf("%I64d\n",ans
);
}
}