JZOJ 3871. 【NOIP2014八校联考第4场第1试10.19】无聊的游戏(game)

题目

学校的运动会开始了，体能很菜的小可可没报任何比赛项目，于是和同学们玩一个十分无聊的游戏。

游戏在一个由n*n个方格组成的正方形棋盘上进行，首先在每个方格上均匀随机地填入1到m之间的正整数（每个方格填的数均不同），然后小可可均匀随机地选出k个1到m的数字（可能选的数不在棋盘上），把它们出现在棋盘上的方格涂黑，设有R行被整行涂黑，有C列被整列涂黑，小可可便可以得到2^(R+C)分。

现在小可可想知道他的期望得分是多少，你能帮助他吗？

样例输入

1 2 1

样例输出

4.5

样例解释

在1*1的方格中填入1，选1或2，得分分别为2^2=4和2^0=1；在1*1的方格中填入2，选1或2，得分分别为2^0=1和2^2=4，所以期望得分为（4+1+1+4）/4=2.5。

数据范围

对于100%的数据，2≤n≤300， n*n≤m≤100000， n≤k≤m。

题解

给定一个全涂黑的行集合R和列集合C，设这些行和列被涂黑的概率为pr,c，那么ans显然等于ΣR,Cpr,c。再设r=|R|,c=|C|，（|a|为集合a元素的个数）

∵ R，C 集合大小相同的 pR,C 也相同

所以ans=Σnr=0Σnc=0CrnCcn∗pr,c

其中pR,C=Ck−tm−tCkmt为涂全黑R行,C列总共涂黑的格子，即t=n(r+c)−rc。

用一个简单的DP做就OK了。

注意事项：

由于DP式中的C下面的数都是n,所以我们设C[i]表示Cin，因为Ci−1n=(n−i+1+1)∗...∗n(n−i+1)!所以，Cin=Ci−1n∗n−i+1i。

因为pR,C=Ck−tm−tCkm，k和m不变，变的只有t，所以考虑一下怎么将Ck−(t−1)m−(t−1)Ckm转移到Ck−tm−tCkm。

∵Ck−tm−tCkm=(m−t)!(m−k)!k!(m−k)!(k−t)!m!=(m−t)!k!(k−t)!m!，Ck−(t−1)m−(t−1)Ckm=(m−t+1)!k!(k−t+1)!m!

∴Ck−tm−tCkmCk−(t−1)m−(t−1)Ckm=k−t+1m−t+1

然后去递推就行了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 100003
#define DB long double
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
int n,m,k,i,r,c,t;
DB jc
,C
,Q
,ans;
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
C[0]=Q[0]=1;
fo(i,1,n) C[i]=C[i-1]*((DB)(n-i+1)/i);
fo(i,1,k) Q[i]=Q[i-1]*((DB)(k-i+1)/(m-i+1));
fo(r,0,n)
fo(c,0,n)
{
t=n*(r+c)-r*c;
if (t<=k) ans=ans+Q[t]*C[r]*C[c];
}
if (ans>1e+99) ans=1e+99;
printf("%LF",ans);
}