模板：Binary Search - 二分搜索

二分搜索是一种在有序数组中寻找目标值的经典方法，也就是说使用前提是『有序数组』。非常简单的题中『有序』特征非常明显，但更多时候可能需要我们自己去构造『有序数组』。下面我们从最基本的二分搜索开始逐步深入。

模板 - lower/upper
bound

定义 lower bound 为在给定升序数组中大于等于目标值的最小索引，upper bound 则为小于等于目标值的最大索引，下面上代码和测试用例。

Java

import java.util.*;

public class Main {
public static void main(String[] args) {
int[] nums = new int[]{1,2,2,3,4,6,6,6,13,18};
System.out.println(lowerBound(nums, 6)); // 5
System.out.println(upperBound(nums, 6)); // 7
System.out.println(lowerBound(nums, 7)); // 8
System.out.println(upperBound(nums, 7)); // 7
}

/*
* nums[index] >= target, min(index)
*/
public static int lowerBound(int[] nums, int target) {
if (nums == null || nums.length == 0) return -1;
int lb = -1, ub = nums.length;
while (lb + 1 < ub) {
int mid = lb + (ub - lb) / 2;
if (nums[mid] < target) {
lb = mid;
} else {
ub = mid;
}
}

return lb + 1;
}

/*
* nums[index] <= target, max(index)
*/
public static int upperBound(int[] nums, int target) {
if (nums == null || nums.length == 0) return -1;
int lb = -1, ub = nums.length;
while (lb + 1 < ub) {
int mid = lb + (ub - lb) / 2;
if (nums[mid] > target) {
ub = mid;
} else {
lb = mid;
}
}

return ub - 1;
}
}

源码分析

以

lowerBound

的实现为例，以上二分搜索的模板有几个非常优雅的实现：

while

 循环中 

lb
+ 1 < ub

, 而不是等号，因为取等号可能会引起死循环。初始化

lb < ub

 时，最后循环退出时一定有

lb
+ 1 == ub

.

mid = lb + (ub - lb) / 2

, 可有效防止两数相加后溢出。

lb

 和 

ub

 的初始化，初始化为数组的两端以外，这种初始化方式比起

0

 和

nums.length
- 1

 有不少优点，详述如下。

如果遇到有问插入索引的位置时，可以分三种典型情况：
目标值在数组范围之内，最后返回值一定是

lb + 1

目标值比数组最小值还小，此时

lb

 一直为

-1

,
故最后返回

lb + 1

 也没错，也可以将

-1

 理解为数组前一个更小的值
目标值大于等于数组最后一个值，由于循环退出条件为

lb + 1 == ub

, 那么循环退出时一定有

lb
= A.length - 1

, 应该返回

lb + 1

综上所述，返回

lb + 1

是非常优雅的实现。其实以上三种情况都可以统一为一种方式来理解，即索引

-1

 对应于数组前方一个非常小的数，索引

ub

 即对应数组后方一个非常大的数，那么要插入的数就一定在

lb

 和

ub

 之间了。

有时复杂的边界条件处理可以通过『补项』这种优雅的方式巧妙处理。

关于lb 和 ub 的初始化，由于

mid = lb + (ub - lb) / 2

, 且有

lb
+ 1 < ub

，故 mid 还是有可能为

ub - 1

或者

lb
+ 1

的，在需要访问

mid + 1

或者

mid
- 1

处索引的元素时可能会越界。这时候就需要将初始化方式改为

lb = 0, ub = A.length - 1

了，最后再加一个关于

lb,
ub

 处索引元素的判断即可。如 Search for a Range 和 Find
Peak Element. 尤其是 Find Peak Element 中 lb 和 ub 的初始值如果初始化为-1和数组长度会带来一些麻烦。