漫步数学分析十二——嵌套

定理1有一个非常重要的推论，就是嵌套性。

定理2 令Fk是Rn中非空紧集序列，对于所有k=1,2,…满足Fk+1⊂Fk，那么在∩∞k=1Fk中至少存在一个点。

直观上来看，集合Fk会越来越小，所以我们可以将其看成序列中的一个点。然而，如果Fk是非紧的，那么交集可能为空。

我们可以用波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理证明它，对每个k选取xk∈Fk，那么xk有一个收敛的子序列，因为他们都位于F1中，因为集合Fk是闭的所以极限点肯定位于所有的集合中。

有一个更加容易的证明会在附3中给出，该证明用到了定理1(ii)′。

例1：对Fk=[0,1/k]⊂R，验证定理2。

解：每个Fk是紧集并且很明显Fk+1⊂Fk，交集是{0}，它是非空的。

例2：如果非空紧变成非空开火非空闭，那么定理2还成立吗？

解：不成立。令Fk=(k,∞)或者[k,∞)。