[bzoj4584]: [Apio2016]赛艇

题目大意

有n个区间，第i个是[Li,Ri]

现在要在至少1个区间里各取一个数，要求：假设区间i取出了一个数，上一个取数的区间编号为j，那么i取出的数要大于j取出的。问有多少种方案。答案模109+7

n≤500 1≤Li≤Ri≤109

分析

暴力的dp是设f[i][j]，表示前i个区间最后一个取出的数是j。转移略。

第二维太大了，尝试优化一下状态。可以发现，Li,Ri一共只有2n个，那么可以把数轴分成2n段。修改状态：f[i][j]表示前i个区间，最后一个数在第j段。

考虑转移，为了防止算重，又要枚举有多少个数放在第j段里，所以复杂度是4次的。

考虑再给dp加一维：f[i][j][k]中k表示k个数放在了第j段。

那么转移变成了：

f[i][j][k]=f[i−1][j][k]+f[i−1][j][k−1]∗(len[j]−k+1)/k

f[i][j][1]=f[i−1][j][1]+∑j−1j′=0∑i−1k=0f[i−1][j′][k]∗len[j]

其中len[j]表示第j段包含整点个数。

用前缀和优化第二个转移，然后再加一些优化，就可以通过此题

对于上面f[i-1][j][k-1]*(len[j]-k+1)/k——>f[i][j][k]的解释：

为了保证序列上升，从一个状态j’转移到另一个状态j时（j’ < j，并且选哪几个数已经确定），要乘上一个组合数，假设最终序列放了k个到第j段，那么乘的就是Cklen[j]。

把组合数拆开，Ck−1len[j]=len[j]!(k−1)!∗(len[j]−k+1)!Cklen[j]=len[j]!(k)!∗(len[j]−k)!

前一个乘上len[j]−k+1k就得到了后一个

/**************************************************************
Problem: 4584
User: worldwide
Language: C++
Result: Accepted
Time:43180 ms
Memory:4760 kb
****************************************************************/

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N=501,mo=1e9+7;

typedef long long LL;

int n,tot,a[N*2],len[N*2],f[N*2][N],s[N*2],L[N],R[N],Inv[N],cnt[N][N*2];

char c;

int read()
{
for (c=getchar();c<'0' || c>'9';c=getchar());
int x=c-48;
for (c=getchar();c>='0' && c<='9';c=getchar()) x=x*10+c-48;
return x;
}

int main()
{
n=read();
for (int i=1;i<=n;i++)
{
L[i]=read()-1; R[i]=read();
a[++tot]=L[i]; a[++tot]=R[i];
}
sort(a+1,a+tot+1);
for (int i=1;i<=tot;i++) len[i]=a[i]-a[i-1];
Inv[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++) Inv[i]=(LL)Inv[mo%i]*(mo-mo/i)%mo;
f[0][1]=1;
for (int i=0;i<=tot;i++) s[i]=1;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
int x,y;
for (x=tot;a[x]!=L[i];x--);
for (y=1;a[y]!=R[i];y++);
memcpy(cnt[i],cnt[i-1],sizeof(cnt[i]));
for (int j=x+1;j<=y;j++)
{
cnt[i][j]++;
for (int k=cnt[i][j];k>1;k--)
{
f[j][k]=(f[j][k]+(LL)f[j][k-1]*(len[j]-k+1)%mo*Inv[k])%mo;
}
f[j][1]=(f[j][1]+(LL)s[j-1]*len[j])%mo;
}
for (int j=x+1;j<=tot;j++)
{
s[j]=s[j-1];
for (int k=cnt[i][j];k;k--) s[j]=(s[j]+f[j][k])%mo;
}
}
s[tot]=(s[tot]-1+mo)%mo;
printf("%d\n",s[tot]);
return 0;
}