矩阵第一章总结笔记

目标：对电科所学的《矩阵理论》进行以自己的方式进行回顾总结。

第一章

一、线性空间及分解

线性空间：对于非空集合V，若V中的任意两个向量及数域P上常数k,满足交换律、数乘、结合律、分配律等共计8个运算条件，则称V为数域P上的线性空间。即线性空间内部的运算封闭。

线性空间的基和维数：在V中有n个线性无关向量，而V中任意n+1个线性向量都线性相关，则称该n个向量是V的一组基，n是线性空间的维数。

线性子空间：如果数域P上的线性空间V的一非空子集W，对于V的两种运算也构成线性空间，则称W是V的线性子空间。（引入平凡子空间概念）

线性空间普通分解：V1、V2是线性空间V的线性子空间，则可普通分解（V1、V2可能有交集）。此时dim(V1)
+ dim(V2) =dim(V1+V2)+dim(V1^V2)

线性空间直和分解：若线性子空间V1、V2中各取任意分向量a,b,那么对应的a+b向量唯一且来自线性空间V，那么称作直和分解。此时，V1+V2是直和；零向量表示法唯一，V1、V2交集为0.

 

二、特征值及特征向量

Ax=(Lambda)x (Lambda代替罗马字母), 则Lambda叫做A的特征值,x叫做A的属于特征值Lambda的特征向量。

A的所有特征值的全体，叫做A的谱。几何重数小于等于代数重数。

矩阵A可对角化，则存在可逆矩阵P满足：P的逆*A*P=对角阵diag。表示A有n个线性无关向量。

任意矩阵可由Jordan标准形表示，存在可逆矩阵P满足：P的逆*A*P=J=Jordan标准形构成的对角阵。

线性变化与矩阵的关系，与矩阵特征值的关系。

广义特征值问题。

 

三、欧氏空间及矩阵变换

欧氏空间（酉空间）：正定性、齐次性、交换律、分配律。

欧氏空间（酉空间）的度量：内积、距离。Gram矩阵的应用。

初等矩阵：特征值、特征向量满足对于关系：n/n-1个特征值...

初等变换矩阵，初等酉阵( Householde变换)。

 

四、Kronecker积

Kronecker积定义、性质、特征值、向量化运算符Vec（即将矩阵转化为一个列向量）、用来求解矩阵方程。