[Leetcode] 53. Maximum Subarray 解题报告

题目：

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array 

[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]

,

the contiguous subarray 

[4,-1,2,1]

 has the largest sum = 

6

.

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More practice:
If you have figured out the O(n) solution, try coding another solution using the divide and conquer approach, which is more subtle.

思路：

1、动态规划法：定义dp[i]表示以位置i结尾的子数组的最大和，则递推方程为：dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])。也就是说以位置i结尾的子数组的最大和有且仅有两种情况：一种是以位置i-1结尾的子数组的最大和加上元素i；一种是元素i的值（即该最大和子数组仅包含元素i），具体取决于dp[i-1]是否大于0。由于递推方程中dp[i]仅仅依赖于dp[i-1]，所以可以将空间复杂度从O(n)优化到O(1)，具体见下面的代码片段1。

2、分治法：虽然分治法的时间复杂度要高于动态规划法，但其思想却颇为巧妙：对于数组nums[left, ..., mid, ..., right]，其子数组的最大和只有可能出现在如下三种情况下：1）出现在子数组nums[left, mid]中；2）出现在子数组nums[mid + 1, right]中；3）出现在nums[..., mid, mi
4000
d + 1, ...]中，即同时跨越nums[mid]和nums[mid+1]。那么就可以采用分治法实现，其关键在于合并部分，具体见下面的代码片段2。该方法中T(n)
= 2 * T(n/2) + O(n)，所以其总体时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度仍然为O(1)。

代码：

1、动态规划法：

class Solution {
public:
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
if(nums.size() == 0)
return std::numeric_limits<int>::min();
int max_sum = nums[0];
int sum = nums[0];
for(size_t i = 1; i < nums.size(); ++i)
{
sum = std::max(sum + nums[i], nums[i]);
max_sum = max(max_sum, sum);
}
return max_sum;
}
};

2、分治法：

class Solution {
public:
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
if(nums.size() == 0)
return std::numeric_limits<int>::min();
return merge(nums, 0, nums.size() - 1);
}
private:
int merge(vector<int>& nums,int s, int t){
if(s == t) return nums[t];
int mid = (s + t) >> 1;
int side_max = max(merge(nums,s,mid),merge(nums,mid + 1,t));
int left_max = nums[mid], right_max = nums[mid + 1];
int cur = left_max;
for(int i = mid - 1;i >= s; i--)    // the max sum that ends at nums[mid]
{
cur += nums[i];
left_max = max(cur,left_max);
}
cur = right_max;
for(int i = mid + 2;i <= t;i++)     // the max sum that starts at nums[mid + 1]
{
cur += nums[i];
right_max = max(cur,right_max);
}
return max(side_max,left_max + right_max);
}
};