OpenCV Sobel算子水平和垂直方向导数问题

sobel算子是一种常用的边缘检测算法，在各种论文或书籍中，我们常常能看到类似这样的话，被检测的对象存在大量的竖直边，所以可以采用sobel算子来找到第一个水平导数，它可以用来在图像中查找竖直边缘。

它在opencv中的原型如下：

CV_EXPORTS_W void Sobel( InputArray src,
OutputArray dst,
int ddepth,
int dx,
int dy，
int ksize=3,
double scale=1,
double delta=0,
int borderType=BORDER_DEFAULT );

第一个参数，输入图像，Mat类型。

第二个参数，目标图像，Mat类型。

第三个参数，目标图像的颜色深度。

第四个参数，int类型dx，表示对x对导数的阶数。

第五个参数，int类型dy，表示对x对导数的阶数。

第六个参数，int类型ksize，表示Sobel核的大小，默认值3。

第七个参数，double类型的scale，计算导数值时可选的缩放因子，默认值是1。

第八个参数，double类型的delta，表示在结果存入目标图（第二个参数dst）之前可选的delta值，默认值0。

第九个参数， int类型的borderType，边界模式，默认值为BORDER_DEFAULT。

在这里主要解释第四个和第五个参数，为什么对x求1阶导数用来检测竖直边缘，同样的对y求1阶导数用来检测水平边缘。

根据soble算子的数学推导：

当内核为3*3时，横向和纵向方向上的卷积因子分别为：



假设原图像为A，分别做卷积可以得到：



具体运算为：

Gx = (-1)*f(x-1, y-1) + 0*f(x,y-1) + 1*f(x+1,y-1)

+(-2)*f(x-1,y) + 0*f(x,y)+2*f(x+1,y)

+(-1)*f(x-1,y+1) + 0*f(x,y+1) + 1*f(x+1,y+1)

= [f(x+1,y-1)+2*f(x+1,y)+f(x+1,y+1)]-[f(x-1,y-1)+2*f(x-1,y)+f(x-1,y+1)]

Gy =1* f(x-1, y-1) + 2*f(x,y-1)+ 1*f(x+1,y-1)

+0*f(x-1,y) 0*f(x,y) + 0*f(x+1,y)

+(-1)*f(x-1,y+1) + (-2)*f(x,y+1) + (-1)*f(x+1, y+1)

= [f(x-1,y-1) + 2f(x,y-1) + f(x+1,y-1)]-[f(x-1, y+1) + 2*f(x,y+1)+f(x+1,y+1)]

由上述公式计算得到Gy和Gx后，可以计算得到G的值，一个点的G的代表该点的梯度，如果大于某一设定范围则认为该点是边缘点。



为了提高效率 使用不开平方的近似值：



因为opencv对图像坐标的定义为原点在左上角角位置，如何一个像素点的坐标为（x，y），那么（x+1，y+1）在该点的左下角，以此类推可以知道其余8个坐标的位置。

Gx及Gy分别代表经横向及纵向边缘检测的图像灰度值，如果为一幅图像有竖直边缘，该竖直边缘的水平两侧灰度将存在差异，同理如果存在水平边缘，该边缘的垂直两侧灰度将存在差异，soble算子利用这种差异实现竖直边缘和水平边缘的检测。

在这里面验算过程太麻烦，贴个照片吧：

假设A是一个3*3的二值图像，计算A中心处那个点是否为边缘点，



显然计算结果为Gx = 4，Gy = 0，也就是说该点在水平方向上两侧是存在差异的，在垂直方向上不存在差异，所以是一个竖直边缘。

最后我们返回opencv代码去验证一下检测效果，首先对输入图片进行高斯滤波，分别进行soble水平和垂直检测，为了方便观看检测效果，选用otsu算法对边缘检测后的结果进行阈值分割。代码如下：

Mat img_gray = imread("building.png",CV_LOAD_IMAGE_GRAYSCALE);
Mat input = imread("building.png");
imshow("原图",input);
blur(img_gray,img_gray,Size(5,5));
imshow("滤波",img_gray);
vertical lines
Mat img_sobel;
Sobel(img_gray, img_sobel, CV_8U, 1, 0, 3, 1, 0, BORDER_DEFAULT);
imshow("检测垂直",img_sobel);
Mat img_sobel2;
Sobel(img_gray, img_sobel2, CV_8U, 0, 1, 3, 1, 0, BORDER_DEFAULT);
imshow("检测水平",img_sobel2);
Mat img_threshold;
threshold(img_sobel, img_threshold, 0, 255, CV_THRESH_OTSU+CV_THRESH_BINARY);
imshow("检测垂直阈值分割",img_threshold);
Mat img_threshold2;
threshold(img_sobel2, img_threshold2, 0, 255, CV_THRESH_OTSU+CV_THRESH_BINARY);
imshow("检测水平阈值分割",img_threshold2);

我们选用一张棱角分明的建筑图片：



进行灰度和滤波处理：



检测水平边缘并阈值分割：





检测竖直边缘并阈值分割：





soble算子对垂直和水平方向上的排列表达的较好，但对于其他角度的表达往往不够准确。