State Estimation for Robotics_2.1.1_Probability Density Functions: Definitions

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作者：宋洋鹏（youngpan1101）

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2.1.1 Definitions

【《State Estimation for Robotics》英文版链接】【黄山老师的讲解视频】

定义随机变量 x ，若存在非负函数 p(x)，使得对任意实数 a<b ，有

Pr{a≤x≤b}=∫bap(x)dx(2.1.1-1)

则称 x 为连续型随机变量，其中 p(x) 称为 x 的概率密度函数（probability density function, PDF），简称概率密度或密度函数，而 Pr{a≤x≤b} 为随机变量 x 落在区域 [a,b] 的概率，即 Pr{a≤x≤b} 为 p(x) 在给定区域上的积分。

连续型随机变量的概率密度函数 p(x) 的性质：

非负性： ∀x∈(−∞，+∞)，p(x)≥0

规范性：∫+∞−∞p(x)dx=1

随机变量 x 的可取值范围为 [a,b]，其条件变量 y 的可取值范围为 [r,s]，则对任意取值的 y，x 在 [a,b] 发生的概率为

∫bap(x|y)dx=1(2.1.1-2)

则称 p(x|y) 为给定 y 下 x 的条件密度函数。

对于 n 维的随机变量，记为 x=(x1,...,xn) , 这里的 x 为随机向量，则多元的随机变量的联合密度函数（joint probability densities）为 p(x1,x2,...,xn) , 对于 x,y 两个随机向量，则可以写成 p(x,y), 对于多元的随机变量的联合密度函数，有

∫bap(x)dx=∫bnan...∫b2a2∫b1a1p(x1,x2,...,xn)dx1dx2...dxn=1(2.1.1-3)

式中，a=(a1,a2,...,an)，b=(b1,b2,...,bn)。