最大公约数和最小公倍数

最大公约数和最小公倍数

最大公约数算法描述：

古希腊数学家欧几里得(公元前330年—公元前275年)发明了一种巧妙的算法——

辗转相除法,又称欧几里得算法:

令较大数为m,较小数为n; 当m除以n的余数不等于0时,把n作为m,并把余数作为n,进行下一次循环; 当余数等于0时,返回n

最大公约数

. 递归算法

#include <stdio.h>

int gcd(int i, int j){
int temp = i%j;
if (temp==0) {
return j;
}
else{
return gcd(j, temp);
}
}

int main() {

int a, b;
while (scanf("%d%d", &a, &b)!=0) {
printf("%d\n", gcd(a, b));

}
return 0;
}

. 算法分析

key	value
测试输入	m=100,n=44
测试输出	4
时间复杂度	O(lgM)
空间复杂度	O(lgM)

每执行一次循环,m或者n至少有一个缩小了2倍,故时间复杂度上限为log2M。 对于大量的随机测试样例,每次循环平均能使m与n的值缩小一个10进位,所以平 均复杂度为O(lgM)。

. 非递归算法

#include <stdio.h>

int gcd(int i, int j){
int temp = i%j;
while (temp!=0) {
i = j;
j = temp;
temp = i%j;
}
return j;
}

int main() {

int a, b;
while (scanf("%d%d", &a, &b)!=0) {
printf("%d\n", gcd(a, b));

}
return 0;
}

. 算法分析

key	value
测试输入	m=100,n=44
测试输出	4
时间复杂度	O(lgM)
空间复杂度	O(1)

每执行一次循环,m或者n至少有一个缩小了2倍,故时间复杂度上限为log2M。 对于大量的随机测试样例,每次循环平均能使m与n的值缩小一个10进位,所以平 均复杂度为O(lgM),但是没有使用到堆和栈所以空间复杂为1。

最小公倍数

最小公倍数算法描述：

求出最大公约数之后,最小公倍数(Least Common Multiple,简称LCM),就能迎 刃而解了。

LCM(m,n) = m*n/GCD(m,n) 比如,60与24的最大公约数为12,那么最小公倍数为:60*24/12 = 120。

. 非递归算法

#include <stdio.h>

int gcd(int i, int j){
int temp = i%j;
while (temp!=0) {
i = j;
j = temp;
temp = i%j;
}
return j;
}

int main() {

int a, b;
while (scanf("%d%d", &a, &b)!=0) {
printf("%d\n", a*b/gcd(a, b));
}
return 0;
}