[bzoj 3224] Tyvj 1728 普通平衡树（Splay）

题意：维护一些数，支持这些操作：插入x、删除x、查询x的排名（多个x则输出最小者）、查询排名为x的数、查询小于x的最大数、查询大于x的最小数。初始序列为空，操作数不超过10^5，每个数的数据范围：[-1e7,1e7]。

写一棵普通的平衡树就好了。由于是想练习一下Splay Tree，就决定是它了。

以前用指针写lct，非常难以调试，解决方案是用map把指针映射成数再输出……自此以后就改用数组了。用结构体数组，意味着要不停地打点加方括号，干脆不用结构体了，直接数组代码看起来清爽多了。

旋转

rot(x, d)

以根和被提上来的儿子方向作为参数。

type(x)

用于获知结点x是左儿子还是右儿子。

splay(x, p)

操作写成了循环，所以得记父结点。为了避免忘记这一点，把设置父子关系写成了

set(x, d, y)

函数。

find(c, b)

操作找小于某数的最大数或大于某数的最小数，并伸展成为根，用一个参数b指明前者还是后者。以前者为例，当前结点小于c，用当前结点更新答案，向右子树走；否则，向左子树走。走到空结点

nil

停止。有一个纠结的地方：到达的最深结点y可能不是要求被伸展成为根的结点z，此时怎样调整树的结构？后面再说。为了便于处理不存在这样的数的情况，加两个虚拟结点

-inf

和

inf

。

insert(c)

插入一个c。先用

find

找到小于c的最大结点并伸展为根，设它为l，r是l的右儿子，断开l, r，使它们成为新结点的左右儿子，并设新结点为根即可。别忘了用

up(x)

更新子树大小的信息。

new_node(c)

用于生成一个新结点，它的值为c，左右子树为空，大小为1。

erase(c)

删除一个c。先用

find

找到小于c的最大结点并伸展为根，设它为l，r是l的右儿子，找到r树中最小的结点r’，r’便是待删除的结点。

splay(r', l)

，再把r’的右子树接到l的右子树的位置即可。

rank(c)

查询c的最小排名。x=

find(c, 0)

，返回小于c的数的个数+1=(x的左子树大小+1-1)+1=x的左子树大小+1。别忘了虚拟结点

-inf

。

kth(k)

查询第k小的数。首先++k，然后在树上二分即可。

前驱

predecessor(c)

和后继

successor(c)

有了

find

就很简单了。查询，返回该结点的值即可。

一开始，

find

操作中我把y和z都splay一下，636ms。只splay(z)是552ms。

写完之后发觉我的做法好像不太主流……又因为对其复杂度的分析不是很理解，浏览了一下Sleator和Tarjan的原始论文《Self-adjusting binary search trees》。

关于splay的复杂度。首先，直接放缩成2(r’(x)-r(x))+2是不可行的，因为有常数2。一旦累加起来它就不是常数了，不可忽略；2(r’(x)-r(x))+2 ≤ 3(r’(x)-r(x))要求r’(x)-r(x)≥2，不一定能达成。是说为什么按照我的理解，把论证中的对数函数换成一切非负的增函数都可以……其二，使用O((m+n)lg n+m)而非O(m lg n+m)，能使复杂度对于一切初始情况皆成立；《算法导论》上说，任何时刻的势不小于初始的势，均摊时间才是实际时间的上界，有时的确无法满足这个条件，也无妨，把势能的减少量考虑进来即可。

关于insert和erase操作的实现。论文中说：“It is convenient to implement insert and delete using join and split.”又说：“There are alternative implementations of insert and delete that have slightly better amortized time bounds.”前者与我的方法等价，后者是这样的：

插入直接找待插入的位置，将新结点伸展为根。时间和方法一差不多。

删除直接找待删除的结点，合并左右子树，替换掉它，把它的父亲伸展到根。方法一进行两三次splay，提到根或根的儿子处；从根的儿子开始go left一次。方法二进行两次splay，一次提到根，一次提到某结点；从某结点开始go left一次。虽然splay会带来奇奇怪怪的效果……但是后一种感觉上常数就小一些。

但是牺牲一点时间换代码简单也不是特别不划算……

灵机一动，

find

里，若y和z不等，就splay(y, z)再splay(z)。这样处理似乎很科学，复杂度的分析仍然适用（Tarjan他们的access/split操作不存在这样的问题，主要是因为需求不同）。572ms。

用class进行了一些封装，看起来很清爽。

#include <cstdio>
#include <cctype>
const int MAX_N = 1e5, inf = 1<<30;

class Splay {
static const int n = MAX_N+4, nil = n-1;
int fa
, ch
[2], v
, sz
, ptr, &root;

void set(int x, int d, int y) { fa[ch[x][d] = y] = x; }
void up(int x) { sz[x] = sz[ch[x][0]] + sz[ch[x][1]] + 1; }
int type(int x) { return x == ch[fa[x]][1]; }

int new_node(int c)
{
ch[ptr][0] = ch[ptr][1] = nil;
v[ptr] = c;
sz[ptr] = 1;
return ptr++;
}

int rot(int x, int d)
{
int y = ch[x][d];
set(fa[x], type(x), y);
set(x, d, ch[y][d^1]);
set(y, d^1, x);
up(x);
up(y);
}

void splay(int x, int p=0)
{
int y;
while ((y = fa[x]) != p) {
int z = fa[y], t1 = type(x);
if (z != p) {
int t2 = type(y);
if (t1 == t2)
rot(z, t2), rot(y, t1);
else
rot(y, t1), rot(z, t2);
} else
rot(y, t1);
}
}

int find(int c, int b=0)
{
int x = root, y, z;
while (x != nil) {
y = x;
if (v[x] != c && v[x] > c == b) {
z = x;
x = ch[x][b^1];
} else
x = ch[x][b];
}
if (y != z)
splay(y, z);
splay(z);
return z;
}

public:

Splay(): ptr(1), root(ch[0][0])
{
sz[nil] = 0;
set(0, 0, new_node(-inf));
set(1, 1, new_node(inf));
up(1);
}

void insert(int c)
{
int l = find(c), r = ch[l][1], x = new_node(c);
ch[l][1] = nil;
set(0, 0, x);
set(x, 0, l);
set(x, 1, r);
up(l);
up(x);
}

void erase(int c)
{
int l = find(c), r = ch[l][1];
while (ch[r][0] != nil)
r = ch[r][0];
splay(r, l);
set(l, 1, ch[r][1]);
up(l);
}

int predecessor(int c)
{
return v[find(c)];
}

int successor(int c)
{
return v[find(c, 1)];
}

int rank(int c)
{
return sz[ch[find(c)][0]] + 1;
}

int kth(int k)
{
++k;
int x = root;
while (x != nil) {
int s = sz[ch[x][0]];
if (s+1 == k)
return splay(x), v[x];
if (s >= k)
x = ch[x][0];
else
k -= s+1, x = ch[x][1];
}
}
} T;

template<typename t>
inline void read(t& x)
{
char c = getchar();
int sgn = 1;
x = 0;
while (!isdigit(c)) {
sgn = c == '-' ? -1 : 1;
c = getchar();
}
while (isdigit(c)) {
x = x*10 + c - '0';
c = getchar();
}
x *= sgn;
}

int main()
{
int n;
read(n);
while (n--) {
int opt, x;
read(opt), read(x);
switch (opt) {
case 1:
T.insert(x); break;
case 2:
T.erase(x); break;
case 3:
printf("%d\n", T.rank(x)); break;
case 4:
printf("%d\n", T.kth(x)); break;
case 5:
printf("%d\n", T.predecessor(x)); break;
case 6:
printf("%d\n", T.successor(x));
}
}
return 0;
}