bzoj 4568: [Scoi2016]幸运数字 （高斯消元求解线性基）

4568: [Scoi2016]幸运数字

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Description

A 国共有 n 座城市，这些城市由 n-1 条道路相连，使得任意两座城市可以互达，且路径唯一。每座城市都有一个
幸运数字，以纪念碑的形式矗立在这座城市的正中心，作为城市的象征。一些旅行者希望游览 A 国。旅行者计划
乘飞机降落在 x 号城市，沿着 x 号城市到 y 号城市之间那条唯一的路径游览，最终从 y 城市起飞离开 A 国。
在经过每一座城市时，游览者就会有机会与这座城市的幸运数字拍照，从而将这份幸运保存到自己身上。然而，幸
运是不能简单叠加的，这一点游览者也十分清楚。他们迷信着幸运数字是以异或的方式保留在自己身上的。例如，
游览者拍了 3 张照片，幸运值分别是 5，7，11，那么最终保留在自己身上的幸运值就是 9（5 xor 7 xor 11）。
有些聪明的游览者发现，只要选择性地进行拍照，便能获得更大的幸运值。例如在上述三个幸运值中，只选择 5 
和 11 ，可以保留的幸运值为 14 。现在，一些游览者找到了聪明的你，希望你帮他们计算出在他们的行程安排中
可以保留的最大幸运值是多少。

Input

第一行包含 2 个正整数 n ，q，分别表示城市的数量和旅行者数量。第二行包含 n 个非负整数，其中第 i 个整
数 Gi 表示 i 号城市的幸运值。随后 n-1 行，每行包含两个正整数 x ，y，表示 x 号城市和 y 号城市之间有一
条道路相连。随后 q 行，每行包含两个正整数 x ，y，表示这名旅行者的旅行计划是从 x 号城市到 y 号城市。N
<=20000,Q<=200000,Gi<=2^60

Output

 输出需要包含 q 行，每行包含 1 个非负整数，表示这名旅行者可以保留的最大幸运值。

Sample Input

4 2

11 5 7 9

1 2

1 3

1 4

2 3

1 4

Sample Output

14

11

HINT

Source

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题解：高斯消元求解线性基

线性基：

若干数的线性基是一组数a1,a2,...an,其中ax的最高位的1在第x位。

通过线性基中元素xor出的数的值域与原来的数xor出数的值域相同。

线性基的合并：合并两个线性基时只需把其中一个线性基的数暴力加到另一个中就可以了。加入时的操作也跟高斯消元类似，我们首先需要判断的就是当前这个数能否被另一个线性基中的数表示。加入当前待加入的这个数的第i位为1，那么我们就要判断另一个线性基中的第i位有没有存下数字。如果有那么这一位就可以被消去，如果没有那么这个数就不能被另一个线性基表示，所以在第i位加入这个数。

那么我们就可以倍增求解基底，每次暴力的合并。查询的时候只需要将两点到lca路径上的所有线性基合并，然后求最大值。

我们最终消成的矩阵有可能是

1 0 0 0

0 1 1 0 

0 0 1 1

0 0 0 1

观察上面的矩阵，我们会发现取最大值时不一定会是四个数异或，而是其中的三个数异或。

这是为什么呢？因为较高位已经对当前位产生了贡献。

解决的方法有两种，一种是进行再消元，变成互不冲突的形式。

还有一种就是计算答案的时候进行贪心，如果答案已经有当前为的贡献了，就直接跳过，不同该基底来更新答案。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define N 20003
#define LL long long
using namespace std;
int n,m;
struct data{
LL  a[63];
}base
[20],tmp,ans;
LL val
,a[3],b[63],cal[63];
int point
,next[N*2],v[N*2],deep
,fa
[20],tot;
LL read()
{
char c=getchar();
while (c<'0'||c>'9') c=getchar();
LL num=0;
while (c>='0'&&c<='9') {
num=num*10LL+c-'0';
c=getchar();
}
return num;
}
int get()
{
char c=getchar();
while (c<'0'||c>'9') c=getchar();
int num=0;
while (c>='0'&&c<='9') {
num=num*10+c-'0';
c=getchar();
}
return num;
}
void add(int x,int y)
{
tot++; next[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y;
tot++; next[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x;
}
data merge(data a,data b)
{
ans=a;
for (int i=0;i<=60;i++){
if (!b.a[i]) continue;
for (int j=60;j>=0;j--){
if (!((b.a[i]>>j)&1)) continue;
if (!ans.a[j]) {
ans.a[j]=b.a[i];
break;
}
else b.a[i]^=ans.a[j];
}
}
return ans;
}
void dfs(int x,int f)
{
deep[x]=deep[f]+1;
//for (int i=60;i>=0;--i)
//if ((val[x]>>i)&1){base[x][0].a[i]=val[x];break;}
if (f) {
a[1]=val[x]; a[2]=val[f];
for (int i=1;i<=2;i++) {
if (!a[i]) continue;
for (int j=60;j>=0;j--){
if (!((a[i]>>j)&1)) continue;
if (!base[x][0].a[j]) {
base[x][0].a[j]=a[i];
break;
}
else a[i]^=base[x][0].a[j];
}
}
}
for (int i=1;i<=15;i++) {
if (deep[x]-b[i]<=0) break;
fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
base[x][i]=merge(base[x][i-1],base[fa[x][i-1]][i-1]);
}
for (int i=point[x];i;i=next[i])
if (v[i]!=f) {
fa[v[i]][0]=x;
dfs(v[i],x);
}
}
void pri()
{
LL mx=0;
for (int i=60;i>=0;i--)
if (tmp.a[i]&&!((mx>>i)&1)) mx^=tmp.a[i];
printf("%I64d\n",mx);
}
void lca(int x,int y)
{
if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
int k=deep[x]-deep[y];
memset(tmp.a,0,sizeof(tmp.a));
for (int i=0;i<=15;i++)
if ((k>>i)&1)  tmp=merge(tmp,base[x][i]),x=fa[x][i];
if (x==y) {
pri();
return;
}
for (int i=15;i>=0;i--)
if (fa[x][i]!=fa[y][i]){
tmp=merge(tmp,base[x][i]);
tmp=merge(tmp,base[y][i]);
x=fa[x][i],y=fa[y][i];
}
tmp=merge(tmp,base[x][0]);
tmp=merge(tmp,base[y][0]);
pri();
}
int main()
{
freopen("a.in","r",stdin);
freopen("my.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
b[0]=1;
for (int i=1;i<=60;i++) b[i]=b[i-1]*2;
for (int i=1;i<=n;i++) val[i]=read();
for (int i=1;i<n;i++) {
int x,y; //x=get(); y=get();
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);
}
dfs(1,0);
for (int i=1;i<=m;i++) {
int x,y; //x=get(); y=get();
scanf("%d%d",&x,&y);
if (x!=y) lca(x,y);
else printf("%I64d\n",val[x]);
}
}