一些NPC问题的证明
2017-01-07 00:16
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8.3 STINGY SAT is the following problem: given a set of clauses (each a disjunction of literals) and an integer k, find a satisfying assignment in which at most k variables are true, if such an assignment exists. Prove that STINGY SAT is NP-complete.
证明:
设SAT一个有k个变量的实例f,(f,k)为STINGY SAT的一个实例,x为一组赋值
由于可以在多项式时间内验证x是否可以使(f,k)为真,所以STINGY SAT是NP问题
目标:SAT规约到STINGY SAT,即x是f的解当且仅当x是(f,k)的解
充分性:假设x是f的解,则至多有k个变量为真,x赋给(f,k)也为真,所以x是(f,k)的解
必要性:假设x是(f,k)的解,显然x也是f的解
∴ STINGY SAT也是一个NPC问题
2. 8.12 The k-SPANNING TREE problem is the following.
Input: An undirected graph G = (V,E)
Output: Aspanningtreeof G in which each node has degree≤ k, if such a tree exists.
Show that fo rany k ≥2:
(a) k-SPANNING TREE is a search problem.
(b) k-SPANNING TREE is NP-complete. (Hint: Start with k = 2 and consider the relation between this problem and RUDRATA PATH.)
证明:
(a) 验证任意给定解t是否是k生成树的过程,即确定G中的所有顶点是否都能在t中找到,t中是否有环,以及t中每个顶点度数是否小于等于k。这些都可以通过对G或t
实施搜索算法(例如DFS)在多项式时间内解决,所以是搜索问题,也是NP问题。
(b) 在(a)中已证明k生成树问题是NP问题。
目标:Rudrata Path规约到k生成树,即某个k生成树算法可以As解决Rudrata Path问题
令G每条边权为1,k=2,则每个顶点度数小于等于2 的树实际上为一条路径。对G实施As算法,若As表示2生成树存在,则在G中存在一条
包含所有顶点的无环无圈路径,也即G中存在Rudrata Path。若As表示2生成树不存在,也即G中没有Rudrata Path。可以看出,求解是否存在
Rudrata Path的问题实际上可以用k生成树存在算法解决,即前者可以规约到后者。
∴ k生成树问题是一个NPC问题
证明:
设SAT一个有k个变量的实例f,(f,k)为STINGY SAT的一个实例,x为一组赋值
由于可以在多项式时间内验证x是否可以使(f,k)为真,所以STINGY SAT是NP问题
目标:SAT规约到STINGY SAT,即x是f的解当且仅当x是(f,k)的解
充分性:假设x是f的解,则至多有k个变量为真,x赋给(f,k)也为真,所以x是(f,k)的解
必要性:假设x是(f,k)的解,显然x也是f的解
∴ STINGY SAT也是一个NPC问题
2. 8.12 The k-SPANNING TREE problem is the following.
Input: An undirected graph G = (V,E)
Output: Aspanningtreeof G in which each node has degree≤ k, if such a tree exists.
Show that fo rany k ≥2:
(a) k-SPANNING TREE is a search problem.
(b) k-SPANNING TREE is NP-complete. (Hint: Start with k = 2 and consider the relation between this problem and RUDRATA PATH.)
证明:
(a) 验证任意给定解t是否是k生成树的过程,即确定G中的所有顶点是否都能在t中找到,t中是否有环,以及t中每个顶点度数是否小于等于k。这些都可以通过对G或t
实施搜索算法(例如DFS)在多项式时间内解决,所以是搜索问题,也是NP问题。
(b) 在(a)中已证明k生成树问题是NP问题。
目标:Rudrata Path规约到k生成树,即某个k生成树算法可以As解决Rudrata Path问题
令G每条边权为1,k=2,则每个顶点度数小于等于2 的树实际上为一条路径。对G实施As算法,若As表示2生成树存在,则在G中存在一条
包含所有顶点的无环无圈路径,也即G中存在Rudrata Path。若As表示2生成树不存在,也即G中没有Rudrata Path。可以看出,求解是否存在
Rudrata Path的问题实际上可以用k生成树存在算法解决,即前者可以规约到后者。
∴ k生成树问题是一个NPC问题
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