个人记录-LeetCode 69. Sqrt(x)

问题：

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

这个问题的解法有很多，但都比不上牛顿插值法简便。

不过牛顿插值法需要的一定的数学功底。

自己没有在第一时间想到牛顿插值法，

但幸好该方法的数学推理还有影响，可以看懂解法。

假设x=sqrt(n)，那么可令f(x)=n-x^2，

求x的值就变成了求f(x)的零点。



牛顿插值法的思想如上图所示（这个图与该函数并不一致，仅作说明用），其中x为最终结果：

随意在函数曲线上取横坐标为Xn点，以其一阶倒数为斜率，做一条直线，

该直线与X轴的交点记为Xn+1。

然后，在函数曲线上取横坐标为Xn+1点，再以其一阶倒数为斜率，做一条直线，

该直线与X轴的交点记为Xn+2。

不断按上面的方式进行下去，最后的结果将逼近实际结果x。

现在我也只记得这么做可以得到结果，具体的原理已经忘了，感兴趣的朋友可以百度一下。

唉，数学知识都还给老师了，惭愧！

假设f(x)是关于X的函数，求出f(x)的一阶导，即斜率:



简化等式可得到:



对于我们的问题：

f(x) = n - x^2，其一阶倒数f’(x) = -2x，

代入上面的公式可得：

Xn+1 = Xn - (n - Xn * Xn ) / (-2 * Xn)，简化可得到：

Xn+1 = (Xn + n / Xn) / 2；

按照这个公式可以写出下面的代码：

代码示例：

public class Solution {
public int mySqrt(int x) {
//此处x为上面公式的n
//r为Xn，不断迭代，直到r * r < x
long r = x;

while (r*r > x)
r = (r + x/r) / 2;

return (int) r;
}
}