ZCMU-1549-组合数

1549: 组合数

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Description

给出组合数C(n,m), 表示从n个元素中选出m个元素的方案数。例如C(5,2) = 10, C(4,2) = 6.可是当n,m比较大的时候，C(n,m)很大！于是xiaobo希望你输出 C(n,m) mod p的值！

Input

输入数据第一行是一个正整数T,表示数据组数 (T <= 100) 接下来是T组数据，每组数据有3个正整数 n, m, p (1 <= m <= n <= 10^9, m <= 10^4, 0< p <100 , p是素数)

Output

对于每组数据，输出一个正整数，表示C(n,m) mod p的结果。

Sample Input

2

5 3 29

5 2 11

Sample Output

10

10

【解析】

这道题确实很有代表性..费马小定理和卢卡斯定理是我以前所不知道的，现在也初步开始了解了。我先说一下组合数

的概念吧意思就是比如有n个数叫你任意取m个数，有多少种可能。组合数的基本公式是c(m,n)=m!/((m-n)!*n!) 

性质1 C(n,m)= C(n,n-m) 性质2 C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)。而我们知道(a/b)mod p=a*b^(p-2)mod p，费马小

定理是a^(p-1)%p=1;a*a^(p-2)%p=1;我们a关于P的逆元是a^(p-2).当我们求S/A（mod）C时---我们就可以求S*B

（mod）C了其中B是A的逆元所以我们这里c(m,n)=m!/((m-n)!*n!) 就可以化成(m-1)*(m-2)*(m-3)../m!%p也就是说

上面和下面的(m-n)!会相约掉。卢卡斯定理C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p

#include <stdio.h>
typedef long long  LL;
LL PowMod(LL base,LL n,LL m)
{
LL res = 1;
while(n)
{
if(n&1)
res = res*base%m;
base = base*base%m;
n >>= 1;
}
return res;
}
LL Cal(LL n,LL m,LL p)
{
LL res = 1,re;
for(LL i = 1;i <=m;++i)
{
res=res*(n-i+1)%p;
re=PowMod(i,p-2,p);//这里这么理解呢相当于我们如果m取3，n取5，那么我们如果按照c(n,m)=n!/((n-m)!*m!)这个来算
res=res*re%p;//那我们就相当于把上面的1到n-m相乘和下面的(n-m)相乘给约掉了
}
return res;
}
LL Lucas(LL n,LL m,LL p)
{
if(n < m)
return 0;
else
return Cal(n,m,p);
}
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
LL n,m,p;
scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
LL res = 1;
while(n||m)
{
int a = n%p;
int b = m%p;
n = n/p;
m = m/p;
res =(res*Lucas(a,b,p));//这里就相当于是C(n%p, m%p)*Lucas(n/p, m/p))%p
if(res == 0)
break;
}
printf("%lld\n",res);
}
return 0;
}