BZOJ 1005 [HNOI2008]明明的烦恼

Description

自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣……给出标号为1到N的点,以及某些点最终的度数,允许在

任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树?

Input

第一行为N(0 < N < = 1000),

接下来N行,第i+1行给出第i个节点的度数Di,如果对度数不要求,则输入-1

Output

一个整数,表示不同的满足要求的树的个数,无解输出0

Sample Input

3

1

-1

-1

Sample Output

2

HINT

两棵树分别为1-2-3;1-3-2

Source

Solution

这里要用到prufer序列的相关知识。

prufer序列知识：

将树转化成Prufer数列的方法

一种生成Prufer序列的方法是迭代删点，直到原图仅剩两个点。对于一棵顶点已经经过编号的树T，顶点的编号为{1,2,…,n}，在第i步时，移去所有叶子节点（度为1的顶点）中标号最小的顶点和相连的边，并把与它相邻的点的编号加入Prufer序列中，重复以上步骤直到原图仅剩2个顶点。

将Prufer数列转化成树的方法

设{a1,a2,..an-2}为一棵有n个节点的树的Prufer序列，另建一个集合G含有元素{1..n}，找出集合中最小的未在Prufer序列中出现过的数，将该点与Prufer序列中首项连一条边，并将该点和Prufer序列首项删除，重复操作n-2次，将集合中剩余的两个点之间连边即可。

先甩出一个结论：prufer序列中每个点出现次数+1等于这个点的度数。

证明从prufer序列的构造上来考虑，一个节点的每一个孩子都会visit一下这个点 他到父亲的那条边不会被考虑 最后剩下的两点看作互为父亲。

于是不难发现一个无根树对应一个prufer序列 一个prufer序列对应一个无根树

现在就是用这些点的度数 构造prufer。

一共是n-2个位置可以写数 我们记sum=∑idi−1 答案就是(n−2)!∗mn−2−sum(n−2−sum)!∏i(di−1)!

用分解质因子来做乘除法 最后高精求答案。

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int c = 168;
int p[c] = {
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149,
151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197,
199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257,
263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313,
317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379,
383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439,
443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499,
503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571,
577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631,
641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691,
701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761,
769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829,
839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907,
911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977,
983, 991, 997};
int n, cnt[c], A[100000], tot, d[1005];
int calc(int x, int y) {
int ret = 0;
while (x >= y) {
ret += x / y;
x /= y;
}
return ret;
}
void deco(int x, int d) {
for (int i = 0; i < c && p[i] <= x; ++i)
cnt[i] += d * calc(x, p[i]);
}
void mul(int val) {
for (int i = 1; i <= tot; ++i) A[i] *= val;
for (int i = 1; i <= tot; ++i) {
A[i+1] += A[i] / 10;
A[i] %= 10;
}
if (A[tot+1] > 0) ++tot;
while (A[tot] > 9) {
A[tot+1] = A[tot] / 10;
A[tot++] %= 10;
}
}
int calc2(int &x, int p) {
int ret = 0;
while (x % p == 0) {
x /= p;
++ret;
}
return ret;
}
int main() {
scanf("%d", &n);
int m = 0, sum = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
scanf("%d", d + i);
if (d[i] == 0) { putchar('0'); return 0; }
if (d[i] == -1) ++m;
else { --d[i]; sum += d[i]; }
}
if (sum > n - 2) { putchar('0'); return 0; }
for (int i = 0; i < c; ++i) if (m % p[i] == 0) cnt[i] += (n - 2 - sum) * calc2(m, p[i]);
deco(n - 2, 1);
deco(n - 2 - sum, -1);
A[1] = tot = 1;
for (int i = 0; i < n; ++i) if (d[i] > 0) deco(d[i], -1);
for (int i = 0; i < c; ++i) {
if (cnt[i] < 0) { putchar('0'); return 0; }
for (int j = 0; j < cnt[i]; ++j)
mul(p[i]);
}
for (int i = tot; i >= 1; --i) printf("%d", A[i]);
}

树转prufer序列代码：

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
bool vis[maxn], deled[maxn << 1];
int cnte, h[maxn], digree[maxn], n, x, y, now;
priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > Q;
struct edge_t { int to, succ, prev; } edge[maxn << 1];
void ins(int x, int y) {
edge[++cnte].to = y;
edge[cnte].prev = h[x];
edge[h[x]].succ = cnte;
h[x] = cnte;
++digree[y];
}
void del(int eid) {
--digree[edge[eid].to]; deled[eid] = true;
if (!vis[edge[eid].to] && digree[edge[eid].to] == 1) Q.push(edge[eid].to);
if (edge[eid].prev) edge[edge[eid].prev].succ = edge[eid].succ;
if (edge[eid].succ) edge[edge[eid].succ].prev = edge[eid].prev;
}
int main() {
scanf("%d", &n); cnte = 1;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
scanf("%d %d", &x, &y);
ins(x, y); ins(y, x);
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) if (digree[i] == 1) Q.push(i);
for (int i = 2; i < n; ++i) {
now = Q.top(); Q.pop(); vis[now] = true;
while (deled[h[now]]) h[now] = edge[h[now]].prev;
printf("%d ", edge[h[now]].to);
del(h[now]); del(h[now]^1);
}
}