动态规划-0/1背包问题

原来文章
http://blog.csdn.net/mu399/article/details/7722810
01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

name weight
value 1
2 3 4
5 6
7 8 9
10

a 2 6
0 6
6 9 9
12 12
15 15 15

b 2 3
0 3
3 6 6
9 9
9 10 11

c 6 5
0 0
0 6 6
6 6
6 10 11

d 5 4
0 0
0 6 6
6 6
6 10 10

e 4 6
0 0
0 6 6
6 6
6 6 6

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。

首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。

对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？

根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在这里，

 f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6

由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包

以下是actionscript3 的代码

[java] view plain copy 在CODE上查看代码片派生到我的代码片

public function get01PackageAnswer(bagItems:Array,bagSize:int):Array  

{  

    var bagMatrix:Array=[];  

    var i:int;  

    var item:PackageItem;  

    for(i=0;i<bagItems.length;i++)  

    {  

        bagMatrix[i] = [0];  

    }  

    for(i=1;i<=bagSize;i++)  

    {  

        for(var j:int=0;j<bagItems.length;j++)  

        {  

            item = bagItems[j] as PackageItem;  

            if(item.weight > i)  

            {  

                //i背包转不下item  

                if(j==0)  

                {  

                    bagMatrix[j][i] = 0;  

                }  

                else  

                {  

                    bagMatrix[j][i]=bagMatrix[j-1][i];  

                }  

            }  

            else  

            {  

                //将item装入背包后的价值总和  

                var itemInBag:int;  

                if(j==0)  

                {  

                    bagMatrix[j][i] = item.value;  

                    continue;  

                }  

                else  

                {  

                    itemInBag = bagMatrix[j-1][i-item.weight]+item.value;  

                }  

                bagMatrix[j][i] = (bagMatrix[j-1][i] > itemInBag ? bagMatrix[j-1][i] : itemInBag)  

            }  

        }  

    }  

    //find answer  

    var answers:Array=[];  

    var curSize:int = bagSize;  

    for(i=bagItems.length-1;i>=0;i--)  

    {  

        item = bagItems[i] as PackageItem;  

        if(curSize==0)  

        {  

            break;  

        }  

        if(i==0 && curSize > 0)  

        {  

            answers.push(item.name);  

            break;  

        }  

        if(bagMatrix[i][curSize]-bagMatrix[i-1][curSize-item.weight]==item.value)  

        {  

            answers.push(item.name);  

            curSize -= item.weight;  

        }  

    }  

    return answers;  

}  

PackageItem类

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public class PackageItem  

{  

    public va
9431
r name:String;  

    public var weight:int;  

    public var value:int;  

    public function PackageItem(name:String,weight:int,value:int)  

    {  

        this.name = name;  

        this.weight = weight;  

        this.value = value;  

    }  

}  

测试代码

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var nameArr:Array=['a','b','c','d','e'];  

var weightArr:Array=[2,2,6,5,4];  

var valueArr:Array=[6,3,5,4,6];  

var bagItems:Array=[];  

for(var i:int=0;i<nameArr.length;i++)  

{  

    var bagItem:PackageItem = new PackageItem(nameArr[i],weightArr[i],valueArr[i]);  

    bagItems[i]=bagItem;  

}  

var arr:Array = ac.get01PackageAnswer(bagItems,10);