电路布线问题

电路布线问题

   制作电路板时，将n条连线分布到若干绝缘层上。在同一层的连线不相交。电路布线问题就是要确定将哪些连线安排到第一层上，使该层上有尽可能多的连线。

  输入一个整数n代表接线柱的数量，输入n个数代表与上接线柱连接的下接线柱编号

样例输入

10

8 7 4 2 5 1 9 3 10 6

样例输出

4

解：

例如，给定如图的电路板。从10条连线中，选取不相交的最大连线集合。用a（i）=j表示要求上排的第i个接线柱要求接到下排的第 j 个接线柱。

  在图中，a（1）=8 ， a（2）=7， a（1）=4， a（1）=2， a（1）=5， a（1）=1， a（1）=9， a（1）=3， a（1）=10， a（1）=6。



  如果使得（i ， a[i]）与（j ， a[j]）不相交，假设 j>I 则两条线不相交的充分必要条件为 a[j]>a[i]。在制作电路板时，要求将这n条连线分布到若干绝缘层上。在同一层上的连线不相交。电路布线问题要确定将哪些连线安排在第一层上，使得该层上有尽可能多的连线。换句话说，该问题要求确定所有导线集的最大不相交子集。

  记N（i，j）{（t，a(t)） |  t<=i，a(t)<=j }代表上接线柱小于等于i并且下接线柱小于等于j的连线的集合。N（i，j）的最大不相交子集为MNS（i，j），假设MNS（i，j）中的连线数目为dp[i][j];

下面对MNS（i，j）进行判断区分：

（1） 当i = 1时

①如果j>=a[i]，为了考虑更多的连线，则（i，a[i]）应当在集合MNS（i，j） 中，即dp（i，j）=1；

②如果j<a[i]，此时则（i，a[i]）不应放在集合MNS（i，j） 中，即dp（i，j）=0



（2）当i >1时

①j<a（i）。

此时，（i，a（i））不属于MNS（i，j）。故在这时，MNS（i，j）
=MNS（i-1，j），从而dp（i，j）=dp（i-1，j）。

②j >=a(i)。

  若(i, a(i))∈MNS(i,j)，则对任意(t, a(t))∈MNS(i,j)有t
<i且a(t)<a(i)；否则，(t,a(t))与(i,a(i))相交。在这种情况下MNS(i,j)-{(i,a(i))}是N(i-1,a(i)-1)的最大不相交子集。否则，子集MNS(i-1,a(i)-1)∪{(i,a(i))}包含于N(i,j)是比MNS(i,j)更大的N(i,j)的不相交子集。这与MNS(i,j)的定义相矛盾。

  若(i, a(i))不属于MNS(i,j)，则对任意(t,
a(t))∈MNS(i,j)，有t<i。从而MNS(i,j)包含于N(i-1,j)，因此，dp(i,j)≤dp(i-1,j)。另一方面，MNS(i-1,j)包含于N(i,j),故又有dp(i,j)≥dp(i-1,j)，从而Size（i,j）=Size(i-1,j)。

（i，a[i]）属于MNS(i,j)，则dp(i,j)=dp(i-1,a[i])+1;



（i，a[i]）不属于MNS(i,j)，则dp(i,j)=dp(i-1,j);



所以递推公式：

1）当i=1时


(2)当i>1时

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define MAX(a, b) ((a)>(b)?(a):(b))

int main()
{
int n;
int a[100],dp[100][100];
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(j<a[1])
dp[1][j]=0;
else
dp[1][j]=1;
}
for(int i=2;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(j<a[i])
dp[i][j]=dp[i-1][j];
else
dp[i][j]=MAX(dp[i-1][j],dp[i-1][a[i]-1]+1);
}
}

printf("%d\n",dp

);
return 0;
}