【NOI2010】bzoj2005 能量采集

Description 栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了 一个角上，坐标正好是(0,

0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器 连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k +

1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于 连接线段上存在一棵植物(1,

2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植 物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。

下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20 棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。

在这个例子中，总共产生了36的能 量损失。 Input

仅包含一行，为两个整数n和m。 Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

容易发现其实就是gcd求和。

===∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)∑i=1n∑j=1m∑d|gcd(i,j)φ(d)∑i=1n∑j=1m∑d|i∧d|jφ(d)∑d=1min(m,n)⌊md⌋⌊nd⌋φ(d)

因为不同的⌊md⌋⌊nd⌋只有O(n√)种，可以对于连续的每段直接求和。复杂度O(n+n√)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
int phi[100010],prm[100010],tot,n,m;
LL s[100010];
int main()
{
int i,j;
LL ans=0;
scanf("%d%d",&n,&m);
if (n>m) swap(n,m);
phi[1]=1;
for (i=2;i<=n;i++)
{
if (!phi[i])
{
prm[++tot]=i;
phi[i]=i-1;
}
for (j=1;j<=tot&&(LL)i*prm[j]<=n;j++)
if (i%prm[j]==0)
{
phi[i*prm[j]]=phi[i]*prm[j];
break;
}
else phi[i*prm[j]]=phi[i]*phi[prm[j]];
}
for (i=1;i<=n;i++)
s[i]=s[i-1]+phi[i];
for (i=1;i<=n;i=j+1)
{
j=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=(LL)(n/j)*(m/j)*(s[j]-s[i-1]);
}
printf("%lld\n",ans*2-(LL)m*n);
}