数位DP入门题

第一次做数位dp的题，虽然是入门题，真的是想了好久才想明白。

dp[i][j] 表示i位数，首位是j的数字有多少符合要求的。

很容易得到递推公式 ：

如j=4时：dp[i][j]=0

j!=4时：


递推公式

如何根据数组dp求对于一个数n，0~n满足要求的数呢？

对于一个数,例如335，对应dp[3][3],但是满足要求的数有336,347,358……这些数超过了335……

所以通过dp[3][0],dp[3][1],dp[3][2]求得首位数字小于3的满足条件的三位数，dp[3][0]求得的数是001,052,093…也就是所有满足条件的一位或两位数……我们求得所有的2xx,1xx,0xx.

接下来要求的是如334,327这类首位是3满足条件的数字，既然首位只能是3，也就是第一位已经选完了，那么我们只要选择满足小于35的数字就可以了。和上面同理，我们只要求出dp[2][0],dp[2][1],dp[2][2],dp[2][3],dp[2][4]就可以求出首位小于3的两位数。这时求得的是32x,31x,30x。

然后我们求所有小于5的数字就ok。小于5也就是dp[0]，dp[1]，dp[2]，dp[3]，dp[4]。这时求得的是53x.

到此，所有小于335且满足的数全部求出。

但是还需要考虑的问题是62,4。

如果某一位数字为4，如77432的第三位（从左向右看）是4，那么我们依次求出6xxxx，5xxxx，…，0xxxx，76xxx，75xxx，…，70xxx，773xx，773xx，…，770xx，我们接来下需要求的是7742x….7740x，但这时所求的数是774xx的数，必然含有4，所以这时我们停止。

对于62，如果某一位数字是6，如5675，我们求完5xxx,4xxx,…0xxx之后再求56xx时，注意566x,565x,..,563x,561x,没有562x。如果数字中含有62，如5627，那么同4，求到562x的时候就应该停止继续求下去了。

因为求得的是小于n的数，所以求[0,n]之间的数需要求n+1.

C++代码：

/*******************************************
Problem : 2089 ( 不要62 )     Judge Status : Accepted
RunId : 14481604    Language : G++    Author : G_lory
Code Render Status : Rendered By HDOJ G++ Code Render Version 0.01 Beta
*******************************************/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

int dp[10][10];
int d[10];

void init()
{
dp[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= 7; ++i)
for (int j = 0; j <= 9; ++j)
for (int k = 0; k <= 9; ++k)
if (j != 4 && !(j == 6 && k == 2))
dp[i][j] += dp[i - 1][k];
}

int solve(int n)
{
int ans = 0;
int len = 0;
while (n) {
++len;
d[len] = n % 10;
n /= 10;
}
d[len + 1] = 0;
for (int i = len; i >= 1; --i) {
for (int j = 0; j < d[i]; ++j) {
if (d[i + 1] != 6 || j != 2)
ans += dp[i][j];
}
if (d[i] == 4 || (d[i + 1] == 6 && d[i] == 2))
break;
}
return ans;
}

int main()
{
int m, n;
init();
while (scanf("%d%d", &m, &n) == 2) {
if (n == 0 && m == 0) break;
printf("%d\n", solve(n + 1) - solve(m));
}
return 0;
}

C代码

#include<stdio.h>
int dp[10][10]={0,0};
int d[10]={0};
int solve(int n);
void init();
void init()
{
dp[0][0]=1;
for(int i=1;i<=7;i++)
for(int j=0;j<=9;j++)
for(int k=0;k<=9;k++)
if(j!=4&&!(j==6&&k==2))//数字不能使4开头，并且若是6开头的数，上一位数字的开头不能是2
dp[i][j]+=dp[i-1][k];
}
int solve(int n)
{
int sum=0;//满足条件的数字总数，初始化为0
int len=0;//数字的位数
while(n)
{
++len;
d[len]=n%10;
n/=10;
}
d[len+1]=0;
for(int i=len;i>0;--i)
{
for(int j=0;j<d[i];++j)
{
if(d[i+1]!=6||j!=2)
sum+=dp[i][j];
}
if(d[i]==4||(d[i+1]==6&&d[i]==2))
break;

}
return sum;
}
int main()
{
int m,n;
init();
while (scanf("%d%d", &m, &n) == 2) {
if (n == 0 && m == 0) break;
printf("%d\n", solve(n + 1) - solve(m));
}
return 0;
}