研究生课程 算法分析-分治法

分治法（divide and conquer）是算法分析里比较直观和朴素的思想，应用也很广泛。

分治法的思想

分治法的思想是，把一个复杂的问题 P 划分称 k 个子问题，这些子问题相互独立且与原问题相同。递归调用子问题，直到问题规模足够小，可以很容易地求解为止；接着，把小规模的问题的解合并成一个更大规模的问题的解。

可以用下面的伪代码来描述，

divide-and-conquer(P) {
if (|P| <= n0) adhoc(P); // 小规模问题求解
divide P into smaller subinstances P1, P2,...,Pk;  // 分解问题成小规模问题
for (i = 1; i <= k; ++ i)
yi = divide-and-conquer(Pi);     // 递归解决子问题
return merge(y1, y2,...,yk);      // 合并为原问题的解
}

分治法和递归

从分治法的思想可以看出，在求解子问题的时候往往需要用到递归，因此分治法和递归经常一起出现。递归算法的优点是结构清晰，可读性强，一般代码也比较容易写，但是缺点是运行效率很低，无论是计算时间还是占用的存储空间都很大。

一般有下面几种解决的办法，

用自定义栈，做了编译器做的事，优化效果不明显。

用递推的方法来实现递归函数

通过变换，将一些递归转化成尾递归（尾递归是所有子递归出现在递归函数的尾部），迭代求结果

后两种方法虽然范围有限，但是如果可以在问题中这样优化的话，效果会比较好。

分治法的适用条件

看一个问题是否可以用分治法求解，可以考虑这个问题是否符合下面几种条件，

小规模时，问题容易求解，这个一般都很容易满足。

问题具有 最优子结构 的性质，即可以分解成若干个规模较小的相同问题。

子问题的解可以 合并为该问题的解

子问题相互独立，即 不包含公共的子问题

满足前三条特征，可以用分治法；如果不具备第三条特征，可以考虑贪心算法和动态规划。如果问题满足第 4 个特征的话，分治法会重复计算导致效率，用动态规划较好。

分治法的应用

二分查找算法

二分查找要解决的问题是，从有序数组 a 中找出特定元素 x 出来。因为是有序，所以可以用考虑分治法，从线性扫描的复杂度 O(n) 优化到 O(logn)。

有递归和非递归两种实现方法。

大整数的乘法

大整数的乘法，分治成较小规模的子问题后，从四次乘法的优化到三次乘法，可以把复杂度从 O(n2) 优化到 O(nlog3=1.59)，有较大的改进。

Strassen 矩阵乘法

与大数乘法的例子类似，做分治后想办法减少乘法的次数，从 O(n3) 优化到了 O(nlog7=2.81) 的复杂度。

归并排序

基本思想是，把待排序的数组分成两个子集，分别排序后再合并。递归代码如下，

void merge_sort(int a[], int start, int end) {
if (start < end) {
int mid = (start + end) / 2;
merge_sort(a, start, mid);     // 对左边的序列递归排序
merge_sort(a, mid + 1, end);   // 对右边的序列递归排序
merge(a, start, end);          // 合并子序列
}
}

快速排序

快排的想法很简单，是想找一个数作为排序的基准（pivot），小的放左边，大的放右边。然后对左边和右边的两个子问题递归排序。递归实现如下，

void quick_sort(int a[], int start, int end) {
if (start < end) {  //
int pivot_index = partition(a, start, end);  // 挖坑划分
quick_sort(a, start, pivot_index - 1);       // 左边的子序列递归排序
quick_sort(a, pivot_index + 1, end);         // 右边的子序列递归排序
}
}

注意快排的划分函数

partition

，用的是挖坑填坑的方法。以第一个元素为基准（pivot），最后返回 pivot 的位置 pivot_index。此时左边的数组元素都比 pivot 小，右边的数组元素都比 pivot 大。