算法篇-13-随机化-线性同余&主元素问题&N皇后问题&素数测试

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四中随机化算法

数值随机化算法：

1..这类算法所得到的往往是近似解。

2.近似解的精度随着计算时间的增加而不断提高。

 

蒙特卡罗算法：

1.求问题的准确解，但得到的解不一定正确。

2.计算时间越长，解的正确性越高。

 

拉斯维加斯算法：

1.求正确解，但可能得不到任何解。

2.计算时间越长，得到正确解几率越高。

 

舍伍德算法：

1.总可求的一解，且所求解一定正确。

2.非避免算法最坏，而是消除最坏与特定实例之间的关联。

线性同余产生伪随机数

算法思路分析以及相关数学公式：

X(n+1) = (a * X(n) + c) % m这样的公式，其中：

 模m, m > 0

系数a, 0 < a < m

增量c, 0 <= c < m

原始值(种子) 0 <= X(0) < m

其中参数c, m, a比较敏感，或者说直接影响了伪随机数产生的质量。

由上述公式得出x（n+1)后右移16位即得到一个0-65535之间的随机数。

（高16位随机性较低16位好）

#include <iostream>
#include <time.h>

//线性同余产生伪随机数
using namespace std;

class CRandom
{
private:
unsigned long rand_seed; //随机数种子

public:
CRandom(unsigned long s = 0)
{
if(!s) rand_seed = time(0);
else rand_seed = s;
}

unsigned long Random(unsigned long n)
{
//0-n-1之间的随机数
const unsigned long multiplier = 1194211693L;
const unsigned long adder = 15465L;

rand_seed = multiplier*rand_seed + adder;

return (rand_seed>>16) % n;
}

double fRandom(void)
{
//产生0-1之间的随机实数
const unsigned long large_number =  0x10000;
return Random(large_number) / double(large_number);
}

};

int main()
{
CRandom rnd;

int i,n=100000;
int m[10];
for(i=0;i<10;++i) m[i]=0;
//查看生成随机数的分布
for(i=0;i<n;i++)
m[rnd.Random(1000)/100]++;
for(i=0;i<10;++i)
cout<<m[i]/(double)n<<endl;
cin.get();

return 0;
}

主元素问题

题目：

设T[1:n]是一个含有n个元素的数组（集合）。当 | {i | T[i]=x} | > n/2 时，称元素x是数组T的主元素。判断一数组是否含有主元素。

 

算法思路分析以及相关公式：

蒙特卡洛算法，随机从数组中取一个数来测试其是否是该数组的主元素。

一次随机测试很可能出错，在这里我们采用多次取样判断来减小误差。

 

若数组含有主元素，则返回true的概率是p (p>1/2)。2次调用返回true的概率是

P+(1-P)*P, = (1-P)^2 > 3/4，如果需要更高准确度则重复更多次数。

#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

#include <iostream>

//主元素问题-- 蒙特卡洛算法
using namespace std;

template <class T_>
bool Majority(const T_ *t,int n)
{
srand(time(0));//取消后正确几率下降
int i = rand()%n;
T_ x = t[i];
int k =0;
for(int j=0;j<n;++j) {
if(t[j]==x) k++;
}
return (k>n/2);
}

template <class T_>
bool MajorityMC(const T_*t,int n,double e)
{
//e允许的最大错误几率
int k =ceil(-log(e)/log(2.0));
for(int i=1;i<=k;++i) {
if(Majority(t,n)) return true;
}
return false;
}

int main()
{

srand(time(0));
int i,n  = 10000;
int *a = new int
;
for(i=0;i<n;++i) a[i] = i+1;
int counter = 0 ;
while (counter<n/2+1) {
i = rand()%n;
if(a[i]!=0) {
a[i]=0;
++counter;
}
}

for(i = 0;i<40;++i) {
if(MajorityMC(a,n,0.1))
cout<<true<<endl;
else
cout<<false<<endl;
}

cin.get();
delete []a;
return 0;
}

N皇后问题

N皇后问题，Las Vegas 算法。

算法分析与相关公式：

 对于n后问题的任何一个解而言，每一个皇后在棋盘上的位置无任何规律，不具有系统性，而更象是随机放置的。在棋盘上相继的各行中随机地放置皇后，并注意使新放置的皇后与已放置的皇后互不攻击，直至n个皇后均已相容地放置好，或已没有下一个皇后的可放置位置时为止。

#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <iostream>

//nqueue - Las Vegas

using namespace std;

class NQueue_Las_Vegas
{
private:
int *y;  //当前行上皇后可放置的位置

bool Place(int k)
{
//验证第k行皇后位置是否合理
for(int i=1; i<k; ++i) {
if((k-i)==abs(x[i]-x[k]) || x[i]==x[k])
return false;
}
return true;
}

bool Backtrack(int t)
{
//回溯法
if(t>n) return true;
else {
for(int i=1;i<=n;++i)
{
x[t] = i;
if(Place(t) && Backtrack(t+1))
return true;
}
}
return false;
}

bool QueuesLV(int m)
{
//随机放置m个皇后的Las Vegas算法
int k = 1;
int count = 1;
while(k<=m && count>0) {
count=0;
for(int i=1;i<=n;++i) {
x[k]=i;
if(Place(k)) y[count++] = i;
}
if(count>0)
x[k++] = y[rand()%count];

}
return count>0;
}

public:
int n;
int *x;

void Solve(int num_loops)
{
y = new int[n+1];
int m = 5;
if(n>15) m = n-15;
bool found = false;
for(int i=1;i<num_loops;++i) {
if(QueuesLV(m)) {
if(Backtrack(m+1)) {
found = true;
break;
}
}
}
if(found) {
for(int i=1;i<=n;++i)
cout<<x[i]<<' ';
cout<<endl;
} else {
cout<<"No Answer"<<endl;
}
delete [] y;
}
};

int main()
{
NQueue_Las_Vegas nq;
nq.n = 8;
nq.x = new int[nq.n+1];
for(int i=0;i<20;++i)
nq.Solve(10) ;

cin.get();
delete [] nq.x;
return 0;
}

素数测试

 --蒙特卡洛算法  

算法思路分析以及相关公式：

 Wilson定理：对于给定的正整数n，判定n是一个素数的充要条件是(n-1)! -1(mod n)。

 费尔马小定理：如果p是一个素数，且0<a<p，则a^(p-1)(mod p)。 

 二次探测定理：如果p是一个素数，且0<x<p，则方程x^21(mod p)的解为x=1，p-1。

 Carmichael数：费尔马小定理是素数判定的一个必要条件。满足费尔马小定理条件的整数n未必全是素数。有些合数也满足费尔马小定理的条件，这些合数称为Carmichael数。前3个Carmichael数是561,1105，1729。Carmichael数是非常少的，在1~100000000的整数中，只有255个Carmichael数。

 

#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <iostream>

//素数测试 --蒙特卡洛算法
using namespace std;

void PowerAndPrimeTest(unsigned int a,unsigned int p,unsigned int n,
unsigned int &result,bool &composite)
{
//计算power(a,p) mod n ,同时实施对n的二次探测
//result计算结果		composite是否为合数
unsigned int x;
if(p==0) result = 1;
else {
PowerAndPrimeTest(a,p/2,n,x,composite);

result = (x*x)%n;
if(result==1 && x!=1 && x!=n-1)
composite = true;
//计算结果
if(p%2==1) //p是奇数
result = (result*a)%n;
}

}

bool PrimeTestMC(unsigned int n,unsigned int k)
{
//检测n是否为素数
//重复调用k次蒙特卡洛算法
unsigned int a,result;
bool composite  = false;
if(n<5) {
if(n==2 || n == 3) return true;
return false;
}
for(int i=1;i<=k;++i) {
//下面这句决定5以下素数测试有问题
a = rand()%(n-3)+2 ;
PowerAndPrimeTest(a,n-1,n,result,composite);
if(composite || (result!=1)) return false;
}
return true;
}

bool PrimeTest(unsigned int n)
{
if(n==1) return false;
else if(n==2) return true;
unsigned int i,m = sqrt(n);
for(i=2;i<=m;++i)
if(n%i==0) return false;
return true;
}

int main()
{
unsigned int n = 1194211693L;
for(int i=2000;i<5000;++i)
if(PrimeTest(i)) {
cout<<i<<endl;
n=i;
break;
}

for(int i=0;i<20;++i) {
if(PrimeTestMC(n,4)) cout<<true<<endl;
else cout<<false<<endl;
}

cin.get();
return 0;
}