Codeforces GYM 100803F
2016-12-27 08:31
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GYM100803F解题分析
题目描述:给出一个无向图,求出这个无向图中所有不同的MST里的公共边。
我的解法:
刚刚拿到这道题的时候我还是思考了好一会儿的,思考的方向大概就是在MST的性质这方面(虽然后来做完之后发现显然我的思路和题目的正解不沾边)。想了一会儿我感觉是时候找个窍门把这道题过掉了,发现数据十分的友好:N<=500 M<=50000。所以说暴力一下就可以了呀。
暴力的思路大概就是枚举每一条边,判断这条边是否是“不可替代”的。判断的方法就是去掉这条边(禁用这条边),然后用Kruskal跑一遍MST,如果得到的新MST的值和全图的MST的值是相同的,那么这条边一定对是可以被替换掉的。
但是这样乱搞的暴力一定是会超时的,于是开始考虑优化。这时候应该分析一下这个问题的实质,它的实质就是求出所有的MST的边集的交集嘛。所以说在枚举边的时候不需要枚举每一条边,只枚举在MST里的边就可以检验、剔除多余的答案了。时间复杂度n^2。
更优思路:
刚刚那发暴力,没什么技术含量。不过读完这份代码,我才明白自己和神犇的差距就在于神犇的脑中闪现了一个灵感,神犇写出来了,我的脑中闪现了一个灵感,……。
这份代码出自一个波兰神犇之手(但是讲真一开始看见变量名和函数名还以为是日本选手的代码..),变量名和函数名都非常的感人,不过对照另一份核心思路比较相似的代码之后,才稍微理解这份代码的核心思路。不过不得不说实现得相当的精致。
下面开始逐段分析这份代码:
这个选手把边表处理在map套vector里面,以边的权值作为key值,这样在后一段中把某一些权值相同的边放在函数中的时候就很容易写对。注意,将某一权值的边集传入函数的时候是按照权值由小到大的顺序的。
在解释如何处理传入函数的边集之前,我觉得这份代码的核心思路就是合并。具体为什么这么说,在下面几段代码的解释中就会慢慢观察出来。
在main函数中,把当前循环到的边集传入przerabiaj这个函数中去。第一个循环,把两端点所在的并查集不同的边放入一个叫做zostale的神秘的边集里面,且这个边集的格式为vector。在这里我们把这个叫做zostale的神秘边集理解为当前有用/可用的边集。并把这个边集传入szukaj_mostow函数。
这个被传进去的边集在szukaj_mostow中又被处理为邻接表的形式,存储为vector[]的形式。并用这个边集,跑了几个dfs,一个dfs处理一个子图。
这里需要注意的是,这个子图只包含权值为cena的边,但是这个图的端点和我一开始理解的端点已经不同了,在这个图里面被边连接的是一个个并查集,换句话说也就是图的几部分子图。在描述dfs之前,我觉得画一个图更能解决问题。(以sample3为例)
上图的第三个图中,已经加入的三条权值为3的边都是符合条件的,但是如何判断它们中的哪一个是不可替换的就成了这个算法的关键。前面已经说到了,这份代码的核心思路是合并,那么如果两个集合之间有多条边,那么之间的这所有边都不可能是不可替换的边。
如下图,集合(1,3)与集合(2)之间就有两条边相连,所以说这两条边都是可以相互替代的,有多条边的也是如此,这就是程序中dfs的作用——检查两个集合之间是否有多条权值相同的连接的边。而(2)与(4)之间只有一条边相连,所以不可替代。
总结:
这道题属于典型的不好想的那种(虽然我的暴力还是过了),但是这个思路还是要掌握的。而且我还特别惊异于这个波兰大神的代码结构,除了变量名和函数名之外,思路非常的清晰,而且对STL的运用还有性质的利用也是很熟练的。不管是代码实现还是思路,这道题对我来说都有很大的学习空间。
代码:
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cmath> #include<algorithm> #include<string> #include<cstring> #include<iostream> #include<queue> #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b)) #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b)) #define abs(a) ((a)<(0)?-(a):(a)) using namespace std; struct Edge { int x,y; int val; }eage[50005]; int tot=0; int head[505]; bool flag[50005]; void add(int x,int y,int z) { eage[++tot].x=x; eage[tot].y=y; eage[tot].val=z; } bool cmp(Edge a,Edge b) { return a.val<b.val; } int n,m; int f[505]; int findit(int k) { if(f[k]==k) return k; return f[k]=findit(f[k]); } int Kruskal(int del) { int res=0; int cnt=0; for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i; for(int i=1;i<=m;i++) if(i!=del) { int g1=findit(eage[i].x); int g2=findit(eage[i].y); if(g1!=g2) { cnt++; f[g1]=g2; res+=eage[i].val; if(!~del) flag[i]=true; } if(cnt==n-1) break; } if(cnt==n-1) return res; else return -1; } int ans_cnt=0; int ans=0; int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=m;i++) { int x,y,z; scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); add(x,y,z); } sort(eage+1,eage+1+m,cmp); int MST=Kruskal(-1); for(int i=1;i<=m;i++) if(flag[i]) { int mst=Kruskal(i); if(mst!=MST) ans_cnt++, ans+=eage[i].val; } printf("%d %d\n",ans_cnt,ans); return 0; }
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