Fuzzy c-means (FCM)聚类算法

原理 

允许同一数据属于多个不同的类。该算法(developed by Dunn in 1973 and improved
by Bezdek in 1981)经常用于模式识别，基于最小化
下列目标函数：


      ,     


其中， m 是大于1的实数，uij 是xi 属于类别 j隶属度， xi 第i个测量到的d维数据, cj 是类j的聚类中心，||*||
表示任一测量数据与聚类
中心的相似度。
Fuzzy partitioning is 通过下列两式的更新迭代来使得上述目标函数达到极小： 


      ,    



当

,时迭代停止，0<

 <1是迭代终止参数，k是迭代轮数。该过程收敛到Jm的一个极小值。
算法由下列步骤组成： 

初始化隶属度矩阵U=[uij] , U(0)  第k轮迭代: 计算中心向量 C(k)=[cj] with U(k)    更新隶属度矩阵 U(k) , U(k+1)    If || U(k+1) - U(k)||<  then STOP; otherwise return to step 2.

说明 

如前所述，数据属于某个类是由隶属度函数确定的，这正是该算法的模糊行为的体现。在该算法中用一个由0和1之间元素组成的矩阵表达

对象与类别的隶属关系。 

举一个一维的例子来说，给定一个特定数据集，分布如下图：



从图中可以很容易分辨出两类数据，分别表示为‘A’ and ‘B’. 利用前述的k-means 算法，每个数据关联一个特定的质心，隶属度函数
如下所示：



利用FCM 算法，同一个数据并不单独属于一个分类，而是可以出现在中间。在这个例子中，隶属函数变得更加平滑，表明每个数据
可能属于几个分类。



上图中，红色点表示的数据更可能属于类别B，而不是A， ‘m’ 的值0.2表明了数据对A的隶属程度。现在，不用图表示，我们引入
一个矩阵，其元素取自隶属函数：


         


(a)                                   (b)
矩阵的行数和列数取决于数据和类别的个数，确切的说，行数表示数据个数，列数表示类别个数，矩阵元素表示为 uij. 

上面的例子中，我们考虑了k-means (a) and FCM (b) 的例子，可以看出在第一个例子(a) 中的稀疏总是二值，表明每个数据只能属于一个
分类，其他属性表示如下：







参考文献

J. C. Dunn (1973): "A Fuzzy Relative of the ISODATA Process and Its Use in Detecting Compact
Well-Separated Clusters",

[align=justify]Journal of Cybernetics 3: 32-57[/align]

J. C. Bezdek (1981): "Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function Algoritms", Plenum
Press, New York

[align=justify]Tariq Rashid: “Clustering” 
http://www.cs.bris.ac.uk/home/tr1690/documentation/fuzzy_clustering_initial_report/node11.html[/align]

[align=justify]Hans-Joachim Mucha and Hizir Sofyan: “Nonhierarchical Clustering” 
http://www.quantlet.com/mdstat/scripts/xag/html/xaghtmlframe149.html[/align]