算法概论习题：8.14NP-完全问题的证明

8.14

问题描述：

证明如下问题是NP-完全的：给定一个无向图G（V，E）和整数k，求G的一个规模为K的团以及一个规模为K的独立集，假设二者都是存在的。

（1）可以将3SAT问题归约到求无向图G的规模为K的团。

  考虑一个有K个子句的3SAT实例，每个字句包含不超过3个文字。可以构造一个无向图G，每个属于3SAT公式中的文字对应G中的一个节点。在3SAT公式中属于一个子句的结点在图G中视为同一个分组的。

  如果u∈V,v∈V是图G中属于不同分组的结点,且这两个结点不代表相反的文字的话,就在这两个结点间构造一条边。

  可以在多项式时间内由3SAT公式构造出这样的图G。

   那么在图G中如果找到一个规模为K的团，就意味着原3SAT公式是可满足的：这是因为这个规模为K的团含有K个顶点，令这k个顶点代表的文字赋为真，由于它们属于不同的子句（根据构造过程，代表同一个子句中文字的结点在G中没有相连的边），则原3SAT公式中所有子句都可以得到满足，即3SAT是可满足的。

  如果在规模为K的3SAT公式存在真值赋值，就可以推出图G中存在规模为K的团：这是因为如果C1∧C2∧C3∧……∧Ck为真，其中Ci是含有3个文字的子句，那么每一个子句中都必然存在至少一个值为真的文字，这里至少有K个文字，且两两不是相反的文字，从每个子句中选择一个值为真的文字，这K个文字对应了图G中属于不同分组的顶点，而且由于这K个文字两两不相反，根据之前的定义，图G中这K个顶点两两相连，所以图G中存在一个规模为K的团。

  综上所述，可以把一个3SAT问题归约到找无向图中规模为K的团问题，由于3SAT问题是NP-完全问题，所以求取无向图G(V,E)的规模为K的团问题也是NP-完全问题。

（2）在1中构造的图G中，求出G的补图G’,则G’中的规模为K的独立集就是图G中规模为K的团。当求出一个图G规模为K的团之后，可以在多项式时间内求出图G的规模为K的独立集。
由（1）的结论可以知道，3SAT问题也可以归约到求图G中的规模为K的独立集问题上。即求无向图G（V,E）的规模为K的独立集是NP-完全问题。

     综合（1）、（2）可以知道3SAT问题可以归约到求一个无向图G（V,E）的规模为K的团和规模为K的独立集上，所以这个问题是NP-完全的。