BZOJ 2705: [SDOI2012]Longge的问题

2705: [SDOI2012]Longge的问题

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Description

[align=left]Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。[/align]

Input

[align=left]一个整数，为N。[/align]

Output

[align=left]一个整数，为所求的答案。[/align]

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

Source

round1 day1

分析：

继续学数学...如果今天不GG，预计应该是高产的一天...然而题目难度2333...

根据Dirichlet卷积：id(i)=i,id=φ×1,(f×g)=Σ(d|n)f(d)*g(n/d)

Σ(1<=i<=n) gcd(i,n)

=Σ(1<=i<=n) id(gcd(i,n))

=Σ(1<=i<=n) Σ(d|gcd(i,n))φ(d)

=Σ(d|n)φ(d)*n/d

代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
//by NeighThorn
#define int long long
using namespace std;
//大鹏一日同风起，扶摇直上九万里

int n,m,ans;

inline int phi(int x){
int cnt=x;
for(int i=2;i<=m;i++)
if(x%i==0){
cnt=cnt/i*(i-1);
while(x%i==0)
x/=i;
}
if(x>1)
cnt=cnt/x*(x-1);
return cnt;
}

signed main(void){
scanf("%lld",&n);
m=sqrt(n);ans=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
if(n%i==0){
ans+=phi(i)*n/i;
if(n/i>m)
ans+=phi(n/i)*i;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}

View Code

by NeighThorn