KCF（核化相关滤波）跟踪公式推导笔记（1）——线性情况下滤波器的解

论文题目：High-Speed Tracking with Kernelized Correlation Filters

作者主页：http://www.robots.ox.ac.uk/~joao/circulant/

在线性条件下，利用循环矩阵，最终的解为

w^=x^∗⊙y^x^∗⊙x^+λ(1)

即为论文原文的（12）式，其中：

（1）x^即F(x)，表示x的离散傅里叶变换

（2）字母右上角的星号表示共轭矩阵

下面是该公式的推导过程。

首先在傅里叶域，岭回归的解如下所示：

w=(XHX+λI)−1XHy(2)

由于我们已经限定了前提条件：X是循环矩阵，而循环矩阵又拥有如下特性：

X=Fdiag(x^)FH(3)

其中：

（1）F​是离散傅里叶变换矩阵，它是一个常量；

（2）x是生成向量，它用于表示人们感兴趣的图像块

（3）X是根据上述x生成的循环矩阵

（4）XH表示X的共轭转置矩阵，即对XH先进行共轭再进行转置

（5）x^即F(x)，表示x的离散傅里叶变换

由（3）式，我们有

XHX=[Fdiag(x^)FH]HFdiag(x^)FH=Fdiag(x^∗)FHFdiag(x^)FH=Fdiag(x^∗)diag(x^)FH(4)

又因为对对角矩阵的操作都是元素级别的，因此

XHX=Fdiag(x^∗⊙x^)FH(5)

其中，符号⊙表示矩阵元素级的乘法，即位置相同的各元素分别相乘

再利用傅里叶变换矩阵的幺正性（unitarity），即：FFH=I，因此上述（2）式可以改写为

w=[Fdiag(x^∗⊙x^)FH+λI]−1XHy=[Fdiag(x^∗⊙x^)FH+λFIFH]−1XHy=[Fdiag(x^∗⊙x^)FH+Fdiag(λ)FH]−1XHy=[Fdiag(x^∗⊙x^+λ)FH]−1XHy=[Fdiag(x^∗⊙x^+λ)−1FH]XHy=[Fdiag(1x^∗⊙x^+λ)FH]XHy(6)

将（3）式代入（6）式，得

w=[Fdiag(1x^∗⊙x^+λ)FH][Fdiag(x^)FH]Hy=[Fdiag(1x^∗⊙x^+λ)FH][Fdiag(x^∗)FH]y=[Fdiag(1⋅x^∗x^∗⊙x^+λ)FH]y=Fdiag(x^∗x^∗⊙x^+λ)FHy(7)

这里得到的（7）式即论文原文中的（56）式，现在继续推导。

根据（3）式所描述的循环矩阵特性，以及循环矩阵的构建法则，我们有

C(x)=Fdiag(x^)FH(8)

又因为x^表示x的离散傅里叶变换，它的另一种表达式是F(x)，因此有x=F−1(x^)，则

C(x)=C(F−1(x^))(9)

综合（8）式和（9）式的等式右半边部分，有

Fdiag(x^)FH=C(F−1(x^))(10)

观察（7）式最后一行，将小括号中的x^∗x^∗⊙x^+λ看作一个整体，再结合上述（10）式，可得

w=C[F−1(x^∗x^∗⊙x^+λ)]y(11)

现在利用循环矩阵卷积性质1

F(Xy)=F[C(x)y]=x^∗⊙y^=F∗(x)⊙F(y)(12)

现在观察（11）式，将F−1(x^∗x^∗⊙x^+λ)看作一个整体，有

Fw=F{C[F−1(x^∗x^∗⊙x^+λ)]y}=F∗[F−1(x^∗x^∗⊙x^+λ)]⊙F(y)=(x^∗x^∗⊙x^+λ)∗⊙F(y)=(x^∗x^∗⊙x^+λ)∗⊙y^(13)

观察（13）式，由于x^∗与x^是共轭关系，因此x^∗⊙x^中的每个元素都是实数，对这样的矩阵取共轭，元素值不发生任何改变，因此（12）式可以继续推导，有

Fw=(x^∗)∗⊙y^(x^∗⊙x^+λ)∗=x^⊙y^x^∗⊙x^+λ(14)

根据离散傅里叶变换的定义，Fw即w^，两者仅仅只是记法的不同，因此

w^=x^⊙y^x^∗⊙x^+λ(15)

注意：此处的（15）式对应论文原文中的（12）式，但分子的表达式稍有出入，此处目前存在争议，国内有研究人员认为当属于论文错误。2

本文的公式推导，离不开博主shenxiaolu1984、博主mhz9123、博主zwlq1314521等人的贡献，在此表示感谢！

下接推导笔记（2）——非线性滤波器、快速检测及快速核相关

循环矩阵卷积性质，参考：http://blog.csdn.net/shenxiaolu1984/article/details/50905283 ↩
关于论文原文公式推导存在错误的观点，参考：http://blog.csdn.net/mhz9123/article/details/51670802 ↩