bzoj 1874: [BeiJing2009 WinterCamp]取石子游戏 Nim游戏+SG函数

题意

有n堆石子，第i堆石子有a[i]块石头。每次只能在一堆石子中取b[j]个{1<=j<=m}

问先取者是否有必胜策略，有则输出第一次在第几堆石子取多少个。

n,m<=10,a[i]<=1000

分析

第一次接触SG函数，感觉是个蛮神奇的东西。

转载一点相关的文章：

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g（x）即sg[x]

例如：取石子问题，有1堆n个的石子，每次只能取{1，3,4}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

sg[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1时，可以取走1-f{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;

x=2时，可以取走2-f{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0；

x=3时，可以取走3-f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1;

x=4时，可以取走4-f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;

x=5时，可以取走5-f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；

以此类推…..

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8….

sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1….

知道SG函数之后这题就变得很简单了。

首先最经典的Nim游戏是若a[1]^a[2]^…^a
!=0则先手有必胜策略，推广到这题，若sg[a[1]]^sg[a[2]]^…^sg[a
]!=0则先手有必胜策略，证明同普通的Nim游戏类似，在此略过。

最后枚举一下即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 15
using namespace std;

int n,m,a
,f
,sg[1005],hash[1005];

void getsg(int n,int m)
{
for (int i=1;i<=n;i++)
{
for (int j=1;j<=m;j++)
if (i-f[j]>=0) hash[sg[i-f[j]]]=i;
for (int j=0;j<=i;j++)
if (hash[j]!=i)
{
sg[i]=j;
break;
}
}
}

int main()
{
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
scanf("%d",&m);
for (int i=1;i<=m;i++)
scanf("%d",&f[i]);
getsg(1000,m);
int sum=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
sum^=sg[a[i]];
if (!sum)
{
printf("NO");
return 0;
}
printf("YES\n");
for (int i=1;i<=n;i++)
{
int tmp=sg[a[i]]^sum;
for (int j=1;j<=m;j++)
if (a[i]-f[j]>=0)
if ((tmp^sg[a[i]-f[j]])==0)
{
printf("%d %d",i,f[j]);
return 0;
}
}
return 0;
}