漫步数学分析三——开集

为了定义开集，我们首先介绍ε−disc的概念。

定义1 对于每个固定的x∈Rn以及ε>0，集合

D(x,ε)={y∈Rn|d(x,y)<ε}

称为关于x的ε−disc(也称为ε−邻域(neighborhood)或ε−球(ball))如图1所示。对于集合A⊂Rn，如果存在一个ε>0使得D(x,ε)⊂A，那么就称该集合为开的。



图1：邻域

有一点非常重要，那就是ε依赖于x。例如，R2 中的不包含边界的单位球为开的，但是当我们靠近边界的时候，ε就需要变得越小。然而需要注意的是对于任意x，ε不能等于0，如图2所示。



图2：开集

考虑R=R1中的一个开区间，如(0,1)。事实上，它是一个开集(如图3所示)，然而如果我们将其看成R2 中的区间(x 轴的一个子集)，那么它就不是开的，所以说明一个集合是否为开时，首先需要指定所使用的的Rn。



图3：一维与二维的情况

有许多不是开集的例子，像R2中的闭单位圆{x∈R2|∥x∥≤1}，因为边界上有点所以它不是开的(也就是说有点x满足∥x∥=1)，每个ε−disc包含不在该集合中的点，如图4所示。



图4：非开集

定理1 在Rn中，对于每个ε>0,x∈Rn，那么集合D(x,ε)是开的。

该定理证明的主要思想包含在图5中，注意在这幅图中关于点y∈D(x,ε)距离大小随着y靠近边界而变得越来越小，从图中可以感觉此定理是显然的。

开集遵守的一些法则如下。

定理2

(i)Rn中有限个开子集的交是Rn的开子集。

(ii)Rn中任意个开子集的交是Rn的开子集。

这个结果可能不太直观，断言(i)与(ii)的差别让我们意识到任意开集的交可能不是开集。例如R1中，一个点(它不是开集)是所有包含它的开集之并(why?)，之后内容将严重依赖定理2给出的开集基本性质()。

注意：满足定理2法则的一组子集或空集∅或整个空间称为拓扑空间，这里我们不讨论一般的拓扑空间而是只限于Rn的情况，然而，下面讨论的内容可以应用到许多情况中。



图5：邻域为开集

例1：令S={(x,y)∈R2|0<x<1}，说明S是开集。



图6：集合S

解：从图6我们可以看出，每个点(x,y)∈S，我们可以画出半径r=min{x,1−x}的邻域并且其全部含于S，因此根据定义可知S是开集。

例2：令S={(x,y)∈R2|0<x≤1}，S 是开集吗？

解：答案为否，因为关于(1,0)∈S的邻域包含点(x,0)，其中x>1。

例3：令A⊂Rn是开集且B⊂Rn，定义

A+B={x+y∈Rn|x∈A,y∈B}

证明A+B是开集。

解：令x∈A,y∈B，使得x+y∈A+B。根据定义，有一个ε>0使得D(x,ε)⊂A，我们需要证明D(x+y,ε)⊂A+B。事实上，令z∈D(x+y,ε)使得d(x+y,z)<ε，但是d(x+y,z)=d(x,z−y)，所以z−y∈A，那么z=(z−y)+y∈A+B，由此可得D(x+y,ε)⊂A+B，所以A+B是开集。