HDU 1907 John nim博弈变形 Anti-SG

题目：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1907

题意：

nim博弈，不过取最后一次的人失败，输出获胜的那个人

思路：

Anti−SG：

Anti−SG 游戏规定，决策集合为空的游戏者赢。

Anti−SG 其他规则与SG 游戏相同。

SJ定理：

对于任意一个 Anti−SG 游戏，如果我们规定当局面中所有的单一游戏的 SG 值为 0 时，游戏结束，则先手必胜当且仅当：

游戏的 SG 函 数不为 0 且游戏中某个单一游戏的 SG 函数大于1；

游戏的 SG 函数 为 0 且游戏中没有单一游戏的 SG 函数大于1。

设所有石子异或和为0时状态为T，不为0时状态为S，设只有一个石子的堆为孤单堆，否则为充裕堆。T状态下无充裕堆的状态记为T0，大于等于2个充裕堆的记为T2。根据上述定义可以定义S0，S1，S2。有结论如下：T0，S1，S2为必胜态，T2，S0为必输态。

[定理1]：S0态，即仅有奇数个孤单堆，必败。T0态必胜。

证明：S0态，其实就是每次只能取一根。每次第奇数根都由己取，第偶数根都由对方取，所以最后一根必己取。败。同理, T0态必胜

[定理2]：S1态，只要方法正确，必胜。

证明：若此时孤单堆堆数为奇数，把充裕堆取完；否则，取成一根。这样，就变成奇数个孤单堆，由对方取。由定理5，对方必输。己必胜

[定理3]：S2态不可转一次变为T0态。

证明：充裕堆数不可能一次由2变为0。得证

[定理4]：S2态可一次转变为T2态。

证明：由定理1，S态可转变为T态，态可一次转变为T态，又由定理6，S2态不可转一次变为T0态，所以转变的T态为T2态

[定理5]：T2态，只能转变为S2态或S1态。

证明：T态必然变为S态。由于充裕堆数不可能一次由2变为0，所以此时的T态不可能为S0态。命题得证。

[定理6]：S2态，只要方法正确，必胜.

证明：

方法如下：

1） S2态，就把它变为T2态

2） 对方只能T2转变成S2态或S1态

若转变为S2, 转向1）

若转变为S1, 这己必胜。

[定理7]：T2态必输。

证明：同6。

综上所述，必输态有： T2,S0 必胜态： S2,S1,T0.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
int t, n, a;
scanf("%d", &t);
while(t--)
{
scanf("%d", &n);
int ans = 0;
bool flag = true;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%d", &a);
if(a > 1) flag = false;
ans ^= a;
}
if(flag) puts(ans ? "Brother" : "John");
else puts(ans ? "John" : "Brother");
}
return 0;
}