杭电OJ——1024 Max Sum Plus Plus

原文地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_677a3eb30100jxqa.html

Max Sum Plus Plus

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)

Total Submission(s): 4521 Accepted Submission(s): 1476

Problem Description

Now I think you have got an AC in Ignatius.L’s “Max Sum” problem. To be a brave ACMer, we always challenge ourselves to more difficult problems. Now you are faced with a more difficult problem.

Given a consecutive number sequence S1, S2, S3, S4 … Sx, … Sn (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ Sx ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = Si + … + Sj (1 ≤ i ≤ j ≤ n).

Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i1, j1) + sum(i2, j2) + sum(i3, j3) + … + sum(im, jm) maximal (ix ≤ iy ≤ jx or ix ≤ jy ≤ jx is not allowed).

But I`m lazy, I don’t want to write a special-judge module, so you don’t have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(ix, jx)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_^

Input

Each test case will begin with two integers m and n, followed by n integers S1, S2, S3 … Sn.

Process to the end of file.

Output

Output the maximal summation described above in one line.

Sample Input

1 3 1 2 3 2 6 -1 4 -2 3 -2 3

Sample Output

6 8

Hint

Huge input, scanf and dynamic programming is recommended.

Author

JGShining（极光炫影）

思路：

dp[i][j]表示前j个元素分成i段的最优解，同时这个最优解是由a[j]元素结束的。
dp[i][j]=max{f[i][j-1]+a[j]，f[i-1][k]+a[j]}
i-1<=k<j,i<=j<=n-m+i
其中j的上下界的确定比较麻烦。现在分别解释上界和下界：
上界：dp[i][j]中，如果j=i-1，意思就是在前面i-1个元素中分成i段，这个是不可能实现的。
下界：如果m=n=4，这时dp[2][4]求出来了，意思是前面的四个元素分成了两段，当是还有两段要分，
所以求出这个是没有意义的。当然求出来也不会影响结果，只是这样时间复杂度就提高了。
这是其中一个特例的状态转移表 m=4，n=6 ，-1 4 -2 3 -2 3

没有填的说明不用算。

很显然dp[i][i]=dp[i-1][i-1]+a[i],

所以对角线上面有：



现在演示一下转移过程。如何求下图的框中的元素的值



由下面涂色的元素的最大值加上a[3]=-2求的如下图



最大的是4，所以4+（-2）=2；框中填2;

假如框中的元素是dp[i][j],画圈的元素表示的是，左边那个是

dp[i][j-1]

,上面的几个是

dp[i-1][k](i-1<=k<j)}

，这个就是上面的转移方程的表格表示法。

#include<stdio.h>
__int64 dp[2][1000001];
__int64 a[1000001];
__int64 b[1000001];
__int64 res;
int n,m;
__int64 Max(__int64 x,__int64 y)
{
if(x>y)return x;
else   return y;
}
int main()
{

//    freopen("a.txt","r",stdin);
while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)
{
int t=1;
res=0;
int i,j,k;
for(i=1;i<=n;i++){b[i]=0;dp[0][i]=dp[1][i]=0;scanf("%I64d",&a[i]);}
for(i=1;i<=m;i++)
{
dp[t][i]=dp[1-t][i-1]+a[i];
__int64 max=dp[1-t][i-1];
for(j=i+1;j<=n-m+i;j++)
{
max=Max(max,dp[1-t][j-1]);
dp[t][j]=Max(dp[t][j-1],max)+a[j];
}
t=1-t;
}
t=1-t;
res=-1111111111111;
for(j=m;j<=n;j++)if(res<dp[t][j])res=dp[t][j];
printf("%I64d\n",res);
}

return 0;
}