[置顶] 【数据结构】平衡二叉树的构建以及增加删除操作

一、前言

最近学习中遇到了平衡二叉树的实用，要求是对一个数据列，进行平衡二叉树的排列，并画出结果，小编刚开始的时候不是很会，通过总结资料学习了一下平衡二叉树的相关知识，通过博客总结一下。

二、什么是平衡二叉树？

平衡二叉树（Balanced Binary Tree），又称为AVL树。它具有如下的性质：

①它的左右子树都是平衡二叉树

②而且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1

平衡因子（BF Balance Factor）：该结点的左子树的深度减去右子数的深度，则平衡二叉树所有结点的平衡因子可能是 -1 、0、1.只要二叉树上有一个结点的平衡因子的绝对值大于1，那个该二叉树就不平衡。

在这幅图中，a是平衡的二叉树，b是不平衡的二叉树。且每个节点的平衡因子也都写在节点上了。

图一  平衡因子

三、构建平衡二叉树以及添加

指针a确定：a是离插入节点最近，且DF超过1的祖先节点。

解决不平衡的方法：旋转

1.单向右旋：由于在*a的左子树根节点的右子树上插入节点，a的平衡因子由1变为2，向右顺时针旋转。

2.单向左旋：由于在*a的右子树根节点的右子树上插入节点，a的平衡因子由1变为2，向左顺时针旋转。

3.先左后右：由于在*a的右子树根节点的右子树上插入节点，a的平衡因子由1变为2，做两次旋转，先左旋转，再右旋转。

4.先右后左：由于在*a的右子树根节点的左子树上插入节点，a的平衡因子由1变为2，做两次旋转，先右旋转，再左旋转。

精华：

LL：单右转

RR：单左转

LR：先左后右

RL：先右后左

图二  旋转

小编用一个例子来说明一下构建的过程：假设把（13,24,37,90,53）构建成平衡二叉树。

a）刚开始的时候是一颗空树；



b）把第一个数13插入，13当成根节点；



c）把24插入，因为24大于13，所以要插入到13的左子树；



d）然后把37插入，同理，37大于13,37大于24，插入到24的左子树；插入后，13节点的平衡因子是-2，将大于1，是一种不平衡现象。所以要对树进行调整：属于RR，所以要单左转。



e）接下来，插入90，没有问题。然后插入53，插入后出现不平衡，所以要调整，属于RL，需要先进行左旋转，再进行右旋转。

这里旋转可能有点费劲，这里是难点：因为37的平衡因子是-2，所以是不平衡的，再看是RL型，先把53插入到37和90之间，如图g，然后就变成了RR型，需要把37降下了，如图h，把37、53、90拉到一条线上，然后重新排序。得到g图。



f）此时37、53、90在一条直线上，他们是不平衡的，37的DF是-2,属于是RR，需要向左旋转，得到下面的结果。

四、小结

最近刚开始的时候自己也不会，就百度了一下，向聚哥请教，总结了最后的做题的结果，知道了如何去做。这个过程还是很好的，加油！总之，学习不能总一直开车狂奔，也要停下来给自己稍微加点油，这样自己才不会感觉到累。