数据结构与算法分析之02时间复杂度

02时间复杂度 

引言：
算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，其中每一条指令表示一个或多个操作。
算法的度量方法 
效率：算法执行的时间
例子：   

int sum=0;

int n=100000000;

for(int i=1;i<=n;i++){

sum=sum+i;

}

例子：

int i;

int sum=0;

int n=100000000;

sum=(1+n)*n/2;

 
事前分析估计的方法：（剖开计算机硬件，软件一些相关的因素）
（在计算机运行时所消耗的时间取决于下列因素）2016
 
1.算法所选择何种策略
2.问题规模
3.书写的程序（对于同一个算法，语言越是高级，执行效率就是越高）
4.编译程序所产生的机器代码的质量
5.机器执行指令的速度
  
算法的五大特性：
1.有穷性（有穷，不是数学上的，实际上就是合理的。每一步在规定时间内完成）
2.确定性（每条指令都有必须明确的含义，无二义性）
3.可行性（算法可以执行的）
4.输入（0或者多个）
5.输出（1个或者多个）
 
算法设计的四大要求：
1.正确性
2.可读性
3.健壮性（容错能力，输入数据非法的时候，不会产生莫名的输出结果）
4.效率和低存储
 
（研究算法的复杂度，侧重的是研究算法随着输入规模扩大增长量的一个抽象，而不是精确定位执行多少次） 
（不关心编译语言，不关心机器） 
函数的渐进增长：
给定两个函数，f(n).g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N,f(n)总是比g(n)大，那么我们说f(n)的增长渐进快于g(n)
 
1.可以忽略加法常数   t(n)=n+1  O(n)   t(n)=1+3+4  O(1)
2.可以忽略加法低次幂 t(n)=n2+n   O(n2)
3.关注主项的阶数
 
 
时间复杂度：
 一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数f(n),算法的时间度量记作T(n)=O(f(n)),它表示随问题n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
常见的用到大O记法 
规则
1） 加法规则 
T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O ( max (f(n), g(m) ) 
2) 乘法规则 
T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m)) 
3)一个特例 
在大O表示法里面有一个特例，如果T1(n) ＝ O©， c是一个与n无关的任意常数，T2(n)
= O ( f(n) ) 则有 
T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) ).  
规则：
1.用常数1取代所有的加法常数 O（1）
2.修改后的函数中，只保留最高阶数
3.如果最高阶项存在不是1，则变成1 
例子：T(n)=5n3+n2+n+6
    时间复杂度是O（n）
1.常数阶：T(8)  O(1)
2.线性阶：O(n)  O(n2)

int i;

int sum=0;

int n=100000000;

for(i=1;i<=n;i++){

for(int j=i;j<=n;;j++){

printf("jeorergv");

}

3.对数阶：

int i=1;

int n=100;

while(i<n){

i=i*2;

}

2x =n;  O(log2 n)

4.函数调用时间复杂度：

int main(){
int i,j;
for(i-0;i<n;i++)
fun(i);

return 0;

}

void fun(int count){

int j;

for(j=count;j<n;j++){

printf("djfhiusrd");

}}

常见时间复杂度的比较：
O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(n3)<O(2n)<O(n!)<O(nn)
 
 
主定理：(必须记住)
    

 
各个排序直接时间复杂度的比较：
内部排序：
插入类：
直接插入：O（n2） O（n2）O(n)  空间复杂度：O(1)
折半插入 O（n2） O（n2）O(n)  空间复杂度：O(1)
希尔排序 平均O(nlogn) 
交换类：（重要）
起泡O（n2） O(n2)  O(n)  
快速  O(nlogn) O(nlogn) O(n)  空间复杂度：O(logn)
选择类：
简单选择O(n2) 
堆排序 O(nlogn)  数比较多的，文件比较大的排序
空间复杂度：O(1)
 
二路归并 O（nlogn）空间复杂度：O(n)
基数排序：O（d(n+r)）空间复杂度：O(r)
 
 
 
 
习题：

一、单项选择题

1.算法应该是（ ）。

A.程序    B.问题求解步骤的描述    C.要满足五个基本特性    D. A和C

2.某算法的时间复杂度为O(n2)，表明该算法的（ ）。

A.问题规模是n2    B.执行时间等于n2

C.执行时间与n2成正比    D.问题规模与n2成正比

3.以下算法的时间复杂度为（ ）。

 void fun(int n) {

    int i=l;

    while(i<=n)        i=i*2;

 }

A. O(n)    B. O(n2)    C. O(nlog2n)
   D. O(log2n)

4.设n是描述问题规模的非负整数，下面程序片段的时间复杂度是（）。

 x=2;

 while(x<n/2)

   x=2*x;

A. O(log2n)    B. O(n)    C. O(nlog2n)
   D. O(n2)

5.求整数n (n>=0)阶乘的算法如下，其时间复杂度是（ ）。

int fact(int n){

    if (n<=l) return 1;

    return n*fact(n-1);

 }

A. O(log2n)    B. O(n)    C. O(nlog2n)
    D. O(n2)

6.有以下算法，其时间复杂度为（ ）。

 void fun (int n){

   int i=0;

    while(i*i*i<=n)         i++;

 }

A. O(n)      B. O(nlogn)    C.      D. 

7.程序段

 for(i=n-l;i>l;i--)

   for(j=1;j<i;j++)

       if (A[j]>A[j+l])

           A[j]与 A[j+1]对换;

其中n为正整数，则最后一行的语句频度在最坏情况下是（ ）。

A. O(n)    B. O(nlogn)    C. O(n3)    D. O(n2)

8.以下算法中加下划线语句的执行次数为（）。

 int m=0, i, j;

 for(i=l;i<=n;i++)

   for(j=1;j<=2 * i;j++)

      m++;

A. n(n+1)    B. n    C. n+1    D. n2

9.下面说法错误的是（ ）。
Ⅰ.算法原地工作的含义是指不需要任何额外的辅助空间
Ⅱ.在相同的规模n下，复杂度O(n)的算法在时间上总是优于复杂度O(2n)的算法
Ⅲ.所谓时间复杂度是指最坏情况下，估算算法执行时间的一个上界
Ⅳ.同一个算法，实现语言的级别越高，执行效率就越低

A. Ⅰ      B. Ⅰ、Ⅱ      C. Ⅰ、Ⅳ      D. Ⅲ

二、综合应用题

1.一个算法所需时间由下述递归方程表示，试求出该算法的时间复杂度的级别（或阶)。

式中，n是问题的规模，为简单起见，设n是2的整数幂。

2.分析以下各程序段，求出算法的时间复杂度。

 // 程序段①

 i=l;k=0;

 while(i<n-l){

    k=k+10*i;

     i++;

 }. 

// 程序段②

 y=0;

 while((y+1)*(y+1)<=n)

     y=y+1;

 

13. // 程序段③

 for(i=l;i<=n;i++)

    for(j =1;j <=i;j ++)

       for(k=l;k<=j;k++)

             x++;

 

19. // 程序段④

. for(i=0;i<n;i++)

   for(j=0;j<m;j++)

        a[i] [j]=0;

答案与解析

一、单项选择题

1.    B
程序不一定满足有穷性，如死循环、操作系统等，而算法必须有穷。算法代表了对问题求解步骤的描述，而程序则是算法在计算机上的特定的实现。

2.    C
时间复杂度为O(n2)，说明算法的执行时间T(n)<=c * n2(c为比例常数)，即T(n)=O(n2)，时间复杂度T(n)是问题规模n的函数，其问题规模仍然是n而不是n2。

3.    D
基本运算是i=i*2，设其执行时间为T(n)，则2T(n)<=n，即T(n)<=log2n=O(log2n)。

4.    A
在程序中，执行频率最高的语句为“x=2*x”。设该语句共执行了 t次，则2t+1=n/2，故t=log2(n/2)-1=log2n-2，得
T(n)=O(log2n)。

5.    B
本题是求阶乘n!的递归代码，即n*(n-1)*...*1共执行n次乘法操作，故T(n)=O(n)。

6.    C
算法的基本运算是i++，设其执行时间为T(n)，则有，T(6)*T(n)*T(n)<=n，即T(n)3<=n。故有，。

更加直观和快速的解题方法：要计算语句i++的执行次数（由于每执行一次i加1），其中判断条件可理解为i3=n，即，因此有。

7.    D
当所有相邻元素都为逆序时，则最后一行的语句每次都会执行。此时，

所以在最坏情况下的该语句频度是O(n2)。

8.    A
m++语句的执行次数为

9.    A
Ⅰ，算法原地工作是指算法所需的辅助空间是常量。Ⅱ，题中是指算法的时间复杂度，不要想当然认为是程序（该算法的实现）的具体执行时间，而赋予n—个特殊的值。时间复杂度为O(n)的算法，必然总是优于时间复杂度为O(2n)的算法。Ⅲ，时间复杂度总是考虑在最坏情况下的时间复杂度，以保证算法的运行时间不会比它更长。Ⅳ为严蔚敏教材的原话。

二、综合应用题

1.解答：

时间复杂度为O(nlog2n)。

设n=2k(k>=0)，根据题目所给定义，有，由此，可得一般递推公式，进而，可得，即，即为。

2.解答：

①基本语句是k=k+10*i，共执行了n-2次，所以T(n)=O(n)。

②设循环体共执行T(n)次，每循环一次，循环变量y加1,最终T(n)=y。故(T(n))2<=n，解得 T(n)=O(n1/2)。

③    x++是基本语句，。

④a[i][j]=0是基本语句，内循环执行m次，外循环执行n次，共执行了    m*n次，所以 T(m, n)=O(m*n)0