Print Article_hdu3507_斜率优化dp
2016-12-16 20:59
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Description
给定n个数和m(0 ≤ n ≤ 500000, 0 ≤ M ≤ 1000),要求分成很多段且已知i到j为一段的代价为∑jk=inumk2+m,求最小代价Analysis
看到最优想到dp。f[i]=min(f[j]+∑k=ijnumk2+m)区间和我们用一个前缀和搞定,但是n很大显然会TLE,于是我们考虑优化
规定k<j<i(下文的全部ijk皆满足),那么对f[i]而言j更优的情况就是
f[j]+(sum[i]−sum[j])2+m<f[k]+(sum[i]−sum[k])2+m
化简一下(f[j]−f[k]+s[j]2−s[k]2)(2∗s[j]−2∗s[k])<sum[i]
也就是说若满足该条件则对于i而言j比k优
设g[j,k]=(f[j]−f[k]+s[j]2−s[k]2)(2∗s[j]−2∗s[k])
同时还可以得到一个很重要的结论,就是若g[i,j]≤g[j,k]则j一定不会成为最优解从而可以删去。
证明:若g[j,k]≥s[i]则k比j优;若g[j,k]<sum[i]则必有g[i,j]<s[i],那么可以得出i比j优。
那么我们可以建一个单调队列来维护,每次队首的一定是最优的。每处理好一个f[i]就放入队列并把没i优的元素删去。
那么时间复杂度就由O(n^2)变成了O(n)
ll要开?当然
Code
这么恶心的多组数据也是够坑/* ID:wjp13241 PROG:print article LANG:C++ */ #include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <ctime> #include <algorithm> #include <iostream> #include <vector> #include <cmath> #include <stack> #include <queue> #include <map> #define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) #define dfo(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--) #define fore(i,x,e) for(int i=ls[x];i;i=e[i].next) #define forp(i,a,b,t) for (int i=a;i<=b;i+=t) #define fil(x,t) memset(x,t,sizeof(x)) #define FILEIN(s) freopen(s,"r",stdin) #define FILEOUT(s) freopen(s,"w",stdout) #define STP system("pause") #define min(x,y) x<y?x:y #define max(x,y) x>y?x:y #define MP(x,y) make_pair(x,y) #define PuB(v,x) v.push_back(x) #define PoB(v) v.pop_back() #define ld long double #define ll long long #define db double #define INF 0x3f3f3f3f #define LIM 100000000 #define MOD 1000007 #define EPS 1e-4 #define N 500101 #define E N*20+1 #define L 21 using namespace std; ll s ,f ;int q ; ll getup(int x,int y){return f[x]-f[y]+s[x]*s[x]-s[y]*s[y];} ll getdown(int x,int y){return s[x]*2-s[y]*2;} inline ll read(){ ll x=0,v=1;char ch=getchar(); while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')v=-1;ch=getchar();} while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*v; } int main() { int n;ll m; while (~scanf("%d%lld",&n,&m)) { fil(q,0); f[0]=0; s[0]=0; fo(i,1,n) { ll t=read(); s[i]=s[i-1]+t; } int st=1,ed=1;q[1]=0; fo(i,1,n) { while (st<ed&&getup(q[st+1],q[st])<=s[i]*getdown(q[st+1],q[st])) st++; f[i]=f[q[st]]+(s[i]-s[q[st]])*(s[i]-s[q[st]])+m; while (st<ed&&getup(i,q[ed])*getdown(q[ed],q[ed-1])<=getup(q[ed],q[ed-1])*getdown(i,q[ed])) ed--; q[++ed]=i; } printf("%lld\n",f ); } return 0; }
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