中国剩余定理学习笔记

上次jt暑假讲的时候我数学太弱并没有听懂qwq。

假设有方程组(mi两两互质)

x≡ai(mod mi)

令

M=∏i=1nmi,wi=Mmi

易知有

gcd(wi,mi)=1

下一步求出pi使得

wi∗pi≡1(mod mi)

这个时候x的一个解可以表示为

x=∑i=1nwi∗pi∗ai

为什么x可行呢？只需要用原来的方程一个一个验证即可，对于第i个方程

x%mi=∑i=1nwi∗pi∗ai%mi

此时除了gcd(wi,mi)=1之外别的wi均为mi的倍数，又由于wi∗pi≡1(mod mi)，所以最后剩下的就是一个ai

嗷所以就证明这是原方程组的一个可行解咯，中国古代人民的智慧还真是美丽无比。