nyoj 一笔画问题（并查集，欧拉路）

一笔画问题

原题链接：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=42

描述

zyc从小就比较喜欢玩一些小游戏，其中就包括画一笔画，他想请你帮他写一个程序，判断一个图是否能够用一笔画下来。

规定，所有的边都只能画一次，不能重复画。

 

输入第一行只有一个正整数N(N<=10)表示测试数据的组数。

每组测试数据的第一行有两个正整数P,Q(P<=1000,Q<=2000)，分别表示这个画中有多少个顶点和多少条连线。（点的编号从1到P）

随后的Q行，每行有两个正整数A,B(0<A,B<P)，表示编号为A和B的两点之间有连线。
输出如果存在符合条件的连线，则输出"Yes",

如果不存在符合条件的连线，输出"No"。
样例输入

2
4 3
1 2
1 3
1 4
4 5
1 2
2 3
1 3
1 4
3 4

样例输出

No
Yes

首先我们应当知道什么是欧拉路径和欧拉回路

欧拉路径：从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路径。 

欧拉回路：在欧拉路径的基础上又回到起点。 

a、凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为 

终点画完此图。 　　 

b、凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另 

一个奇点终点。 　 

c、其他情况的图都不能一笔画出。(有偶数个奇点除以2便可算出此图需几笔画成。)

欧拉回路和欧拉路径的判断 

欧拉回路： 

无向图：每个顶点的度数都是偶数，则存在欧拉回路。 

有向图：每个顶点的入度都等于出度，则存在欧拉回路。 

欧拉路径： 

无向图：当且仅当该图所有顶点的度数为偶数 或者 除了两个度数为奇数外其余的全是偶数。 

有向图：当且仅当该图所有顶点 出度=入度 或者 一个顶点 出度=入度+1，另一个顶点 入度=出度+1，其 

他顶点 出度=入度。

思路： 

这里能一笔画有两个条件。 

1.图连通

2.度为奇数的点的个数为0或者2. 

//并查集
代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define maxn  2005
int n;
int pre[maxn],num[maxn];//num记录顶点度数
void make()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
pre[i]=i;
}
int Find(int x)
{
int r=x;
while(r!=pre[r])
r=pre[r];
int i=x,j;
while(i!=r)
{
j=pre[i];
pre[i]=r;
i=j;
}
return r;
}
void join(int x,int y)
{
int fx=Find(x),fy=Find(y);
if(fx!=fy)
pre[fy]=fx;
}
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
memset(num,0,sizeof(num));
int i,m,a,b;
scanf("%d%d",&n,&m);
make();
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
num[a]++;
num[b]++;
join(a,b);
}
int tot=0,ans=0;//tot代表根节点的数量，ans记录度数为奇数的顶点的个数
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(pre[i]==i)
tot++;
if(num[i]&1)
ans++;
}
if(tot==1&&(ans==0||ans==2))//只能有一个根节点，并且要么是欧拉路径，要么是欧拉回路
printf("Yes\n");
else
printf("No\n");
}
return 0;
}