概率相关的证明
2016-12-15 12:24
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P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
画图可知;
由概率的非负性可知,P(B∩Ac)≥0,因此 P(B)≥P(A);
当 An 序列是单调增的,A1⊂A2⊂A3⋯An
这道题目,我们采用构造的方式进行,不妨令 B1=A1,B2={w∈A2∖A1},同理,继续构造 B3={w∈A3,w∉⋯},这样所有的 Bi 就都是不相交的,因此,也有:
An=∪iAi=∪iBi
因此(Bi 不相交)也就有了(两边用 P(⋅) 作用):
P(An)=∑iP(Bi)=P(A)
当 An 序列不是单调时,我们仍然可以构造出另外一个单调的序列,
A~1=A1∩A,A~2=(A1∪A2)∩A,A~3=(A1∪A2∪A3)∩A
等式两边同时对 x 积分(对称地,对 y 进行积分):
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪p(y|z)⋅1h(z)=g(y,z)p(x|z)⋅1g(z)=h(x,z)
两式相乘 h(x,z)⋅g(y,z)=p(y|z)⋅1h(z)⋅p(x|z)⋅1g(z),又由题设可知,h(x,z)⋅g(y,z)=p(x,y|z),因此,
p(x,y|z)=p(y|z)⋅1h(z)⋅p(x|z)⋅1g(z)
等式两边同时对 x,y 进行积分,则可得:
1h(z)1g(z)=1
因此等式成立。
画图可知;
1. A⊂B ⇒ P(A)≤P(B)
A⊂B⇓B=A∪(B∖A)⇓B=A∪(B∩Ac)⇓P(B)=P(A)+P(B∩Ac)由概率的非负性可知,P(B∩Ac)≥0,因此 P(B)≥P(A);
2. 概率连续性的证明
Continuity of probability:if An→A, P(An)→P(A),n→∞当 An 序列是单调增的,A1⊂A2⊂A3⋯An
这道题目,我们采用构造的方式进行,不妨令 B1=A1,B2={w∈A2∖A1},同理,继续构造 B3={w∈A3,w∉⋯},这样所有的 Bi 就都是不相交的,因此,也有:
An=∪iAi=∪iBi
因此(Bi 不相交)也就有了(两边用 P(⋅) 作用):
P(An)=∑iP(Bi)=P(A)
当 An 序列不是单调时,我们仍然可以构造出另外一个单调的序列,
A~1=A1∩A,A~2=(A1∪A2)∩A,A~3=(A1∪A2∪A3)∩A
3. 条件独立(CI)
X⊥Y|Z⇔p(x,y|z)=h(x,z)⋅g(y,z)等式两边同时对 x 积分(对称地,对 y 进行积分):
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪p(y|z)⋅1h(z)=g(y,z)p(x|z)⋅1g(z)=h(x,z)
两式相乘 h(x,z)⋅g(y,z)=p(y|z)⋅1h(z)⋅p(x|z)⋅1g(z),又由题设可知,h(x,z)⋅g(y,z)=p(x,y|z),因此,
p(x,y|z)=p(y|z)⋅1h(z)⋅p(x|z)⋅1g(z)
等式两边同时对 x,y 进行积分,则可得:
1h(z)1g(z)=1
因此等式成立。
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