【原创】【动态规划】最长上升子序列

【基础算法】最长上升子序列

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题目描述

给定一个整数序列A1A2A3….An。求它的一个递增子序列，使子序列的元素个数尽量多，元素不一定要求连续。

输入

第1行：1个整数n(1<=n<=5000)，表示序列中元素的个数.

第2行-n+1行：每行1个整数x(-1000<=x<=1000)，第i+1行表示序列中的第i个元素。

输出

第1行：1个整数k，表示最长上升子序列的长度。

第2行：k个用单个空格分开的整数，表示找到了最长上升子序列。如果有多个长度等于k的子序列，则输出最靠前的1个。

样例输入

81234
43
5
6

样例输出

51 3 4 5 6

首先我们先来看看什么是“最长上升子序列”。

“序列”，数字串，一些数字串在一起，一个集合；

“子序列”，这个序列是原数列的一部分；

“上升子序列”，这个序列的这些数满足“a[1]<a[2]<a[3]<…<a
”；

“最长上升子序列”，这个序列里的数字的数量要最多。

要怎么找呢？

这个序列需要满足“上升”吧？

那么，我们只需要把每一个上升序列都找出来再比较长短就okay了！

那……会不会有很多很多情况呢？

No！

为了保证最长，我们要让每一串数的起始位置尽量往前，终止位置尽量往后，没错吧？

所以，我们只需枚举这n个数，以第i个数为这串数的终止位置，看谁串的 串 的数多，就可以了。

代码实践一下吧，

详见代码：

scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int e=0;
for(int j=1;j<i;j++)
if(a[j]<a[i] and e<f[j])
e=f[j];
f[i]=e+1;
if(Max<f[i]) Max=f[i];
}//a[i]为i号数的大小，f[i]是以i号点开始，最长有多长的序列

下一个问题，怎么输出？

先看看代码是怎么设计的，再想方设法优化。

我们枚举到i号点的时候，看这个点是哪些队列的终止位置，再取最长的队列，让i号点成为这个队列的队尾，接替原来的队尾。

怎么优化呢？

我们不是让i号到队尾了吗？那么我们可不可以记录下他替代了谁呢？最后再逆序逆回来就可以啦！

详见代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,a[6006],da=-1,db,f[6006],came[6006];
void out(int syx)
{
if(came[yx]!=0)
{
out(came[yx]);
printf(" ");
}
printf("%d",a[yx]);
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int e=0;
for(int j=1;j<i;j++)
if(a[j]<a[i] and e<f[j])
e=f[j],came[i]=j;
f[i]=e+1;
if(da<f[i]) da=f[i],db=i;
}
printf("%d\n",da);
out(db);
}