[51nod 1203]JZPLCM

题目大意

求区间lcm。带模运算。

做法

不知道有没有更简单的做法。

最小公倍数是什么意思？一堆数的最小公倍数，就是对于每一个质数p，这些数每个数中p的次数的最大值k，然后最小公倍数就会包含一个p^k。

p很大时k会很小，p很小时k会很大，这是两个互相制约的因素，因此考虑使用两种算法然后进行平衡结合。

设置阈值B=230（差不多就是√n）

对于所有<=B的质数p都枚举一遍，然后计算出每个数包含多少个p，再对次数做ST表，每个询问可以直接询问区间最大值然后计算贡献。这部分的复杂度的话，因为只有根号n以内的质数，个数大概为√n/log n，ST的预处理需要n log n，一共n√n。

对于所有>B的质数，每个数最多只有1个，而且次数肯定为1，这意味着一个区间只要存在某个大质数那么贡献就为这个大质数。用b[i]表示第i个数包含的这个大质数（没有就是1），处理出往左往右第一个相同b值的位置，然后上莫队，左右端插入删除通过处理出的left和right来维护贡献。这部分的复杂度的话，逆元用预处理，那么过程就是n√n。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=50000+10,B=230,mo=1000000007;
struct dong{
int l,r,id;
} ask[maxn];
int a[maxn],c[maxn],f[maxn][20],pri[maxn],zjy[maxn],belong[maxn];
int ans[maxn],left[maxn],right[maxn],last[maxn],ni[maxn];
bool bz[maxn];
int i,j,k,l,r,t,n,m,top,now;
int quicksortmi(int x,int y){
if (!y) return 1;
int t=quicksortmi(x,y/2);
t=(ll)t*t%mo;
if (y%2) t=(ll)t*x%mo;
return t;
}
int getmax(int l,int r){
int z=zjy[r-l+1];
return max(f[l][z],f[r-(1<<z)+1][z]);
}
bool cmp(dong a,dong b){
return belong[a.l]<belong[b.l]||belong[a.l]==belong[b.l]&&a.r<b.r;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
fo(i,1,m){
scanf("%d%d",&ask[i].l,&ask[i].r);
ask[i].id=i;
ans[i]=1;
}
fo(i,2,B){
if (!bz[i]) pri[++top]=i;
fo(j,1,top){
if (i*pri[j]>B) break;
bz[i*pri[j]]=1;
if (i%pri[j]==0) break;
}
}
fo(i,1,n) zjy[i]=floor(log(i)/log(2));
fo(k,1,top){
t=pri[k];
fo(i,1,n) c[i]=0;
fo(i,1,n){
while (a[i]%t==0){
c[i]++;
a[i]/=t;
}
}
fo(i,1,n)
fo(j,0,zjy
)
f[i][j]=0;
fo(i,1,n) f[i][0]=c[i];
fo(j,1,zjy
)
fo(i,1,n-(1<<j)+1)
f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
fo(i,1,m){
l=getmax(ask[i].l,ask[i].r);
ans[i]=(ll)ans[i]*quicksortmi(t,l)%mo;
}
}
fo(i,1,n) belong[i]=(i-1)/B+1;
fo(i,1,n) last[i]=0;
fo(i,1,n){
left[i]=last[a[i]];
last[a[i]]=i;
}
fo(i,1,n) last[i]=n+1;
fd(i,n,1){
right[i]=last[a[i]];
last[a[i]]=i;
}
sort(ask+1,ask+m+1,cmp);
l=1;r=0;
now=1;
fo(i,1,n) ni[i]=quicksortmi(i,mo-2);
fo(i,1,m){
while (l<ask[i].l){
if (right[l]>r) now=(ll)now*ni[a[l]]%mo;
l++;
}
while (l>ask[i].l){
l--;
if (right[l]>r) now=(ll)now*a[l]%mo;
}
while (r>ask[i].r){
if (left[r]<l) now=(ll)now*ni[a[r]]%mo;
r--;
}
while (r<ask[i].r){
r++;
if (left[r]<l) now=(ll)now*a[r]%mo;
}
ans[ask[i].id]=(ll)ans[ask[i].id]*now%mo;
}
fo(i,1,m) printf("%d\n",ans[i]);
}