leetcode 84 Largest Rectangle in Histogram
2016-12-09 22:52
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题目描述:
Given n non-negative integers representing the histogram's bar height where the width of each bar is 1, find the area of largest rectangle in the histogram.
Above is a histogram where width of each bar is 1, given height =
The largest rectangle is shown in the shaded area, which has area =
For example,
Given heights =
return
分析:
最大矩形的高度必然和某一个立柱的高度相等,也就是说,最大矩形必然包含了某一个立柱的全部。
因此,可以遍历所有立柱,对当前立柱 i,以其高度左右扩展,看看以当前立柱 i 的高度最多能包含进
多大的矩形面积。最后选出最大的总面积即可。这种思路的代码如下:
c++代码:
下面我们看一个时间复杂度为O(n)的解法:
首先我们看一下下面的例子:
heights的内容是 [5,6,7,8,3],特点是除了最后一个,前面全部保持递增,且最后一个立柱的高度
小于前面所有立柱高度。对于这种特点的柱状图,除了最后一个,从第一个到倒数第二个立柱的高度
都在升高,那么如果挨个使用每一个柱的高度作为矩形的高度,那么依次能得到的矩形的宽度就可以
直接算出来:使用5作为高度可以使用前四个立柱组成 4*5的矩形,高度6可以组成3*6的矩形...
因此只需要遍历一次,选出最大面积即可。
对于这种类型的柱状图,求最大矩形面积的时间复杂度是O(n)!
我们将这种特点的柱状图称为“波峰图”。
下面介绍新的解法的步骤:
(1) 在heights尾部添加一个0,也就是一个高度为0的立柱。作用是在最后也能凑成上面提的那种“波峰图”。
(2) 定义了一个stack,然后遍历heights,如果heights[i] 大于等于stack.top(),进栈。
如果heights[i]小于stack.top(),出栈,直到heights[i] 大于等于stack.top(),然后进栈。
由于出栈的这些元素高度都是递增的,我们可以求出这些立柱中所围成的最大矩形。更妙的是,
由于这些被弹出的立柱处于“波峰”之上(比如弹出i 到 i+k,那么所有这些立柱的高度都
高于 i-1和 i+k+1的高度),因此,如果我们使用之前所提的“左右延伸找立柱”的思路解,
以这些立柱的高度作为整个矩形的高度时,左右延伸出的矩形所包含的立柱不会超出这段“波峰”,
因为波峰外的立柱高度都比他们低。“波峰图”其实就是求解最大矩形的“孤岛”,它不会干扰到外部。
(3)由于比heights[i]大的元素都出完了,heights[i]又大于等于栈顶元素了,因此再次进栈。如此往复,
直到遍历到最后那个高度为0的柱,触发最后的弹出以及最后一次面积的计算。。。。
(4)返回面积最大值。
另外,需要注意的是:栈中存的不是高度,而是heights的索引,这样做的好处是:
不会影响宽度的计算,索引值相减 = 宽度。
c++代码:
参考资料:点击打开链接
Given n non-negative integers representing the histogram's bar height where the width of each bar is 1, find the area of largest rectangle in the histogram.
Above is a histogram where width of each bar is 1, given height =
[2,1,5,6,2,3].
The largest rectangle is shown in the shaded area, which has area =
10unit.
For example,
Given heights =
[2,1,5,6,2,3],
return
10.
分析:
最大矩形的高度必然和某一个立柱的高度相等,也就是说,最大矩形必然包含了某一个立柱的全部。
因此,可以遍历所有立柱,对当前立柱 i,以其高度左右扩展,看看以当前立柱 i 的高度最多能包含进
多大的矩形面积。最后选出最大的总面积即可。这种思路的代码如下:
c++代码:
class Solution { public: int largestRectangleArea(vector<int>& heights) { if(heights.size()==0) return 0; int max=0; for(int i=0;i<heights.size();i++) { int area=0; int mid=i; for(;mid>=0 && heights[mid]>=heights[i];mid--) { area+=heights[i]; } for(mid=i+1;mid<heights.size() && heights[mid]>=heights[i];mid++) { area+=heights[i]; } if(max<area) max=area; } return max; } };python代码:
class Solution(object): def largestRectangleArea(self, heights): """ :type heights: List[int] :rtype: int """ if len(heights)==0: return 0 maxArea=0 for i in range(len(heights)): area=0 for mid in range(i,-1,-1): if heights[mid]>=heights[i]: area+=heights[i] else: break for mid in range(i+1,len(heights)): if heights[mid]>=heights[i]: area+=heights[i] else: break if maxArea<area: maxArea=area return maxArea上述解法的间复杂度是O(n^2),过不了大集合测试!
下面我们看一个时间复杂度为O(n)的解法:
首先我们看一下下面的例子:
heights的内容是 [5,6,7,8,3],特点是除了最后一个,前面全部保持递增,且最后一个立柱的高度
小于前面所有立柱高度。对于这种特点的柱状图,除了最后一个,从第一个到倒数第二个立柱的高度
都在升高,那么如果挨个使用每一个柱的高度作为矩形的高度,那么依次能得到的矩形的宽度就可以
直接算出来:使用5作为高度可以使用前四个立柱组成 4*5的矩形,高度6可以组成3*6的矩形...
因此只需要遍历一次,选出最大面积即可。
对于这种类型的柱状图,求最大矩形面积的时间复杂度是O(n)!
我们将这种特点的柱状图称为“波峰图”。
下面介绍新的解法的步骤:
(1) 在heights尾部添加一个0,也就是一个高度为0的立柱。作用是在最后也能凑成上面提的那种“波峰图”。
(2) 定义了一个stack,然后遍历heights,如果heights[i] 大于等于stack.top(),进栈。
如果heights[i]小于stack.top(),出栈,直到heights[i] 大于等于stack.top(),然后进栈。
由于出栈的这些元素高度都是递增的,我们可以求出这些立柱中所围成的最大矩形。更妙的是,
由于这些被弹出的立柱处于“波峰”之上(比如弹出i 到 i+k,那么所有这些立柱的高度都
高于 i-1和 i+k+1的高度),因此,如果我们使用之前所提的“左右延伸找立柱”的思路解,
以这些立柱的高度作为整个矩形的高度时,左右延伸出的矩形所包含的立柱不会超出这段“波峰”,
因为波峰外的立柱高度都比他们低。“波峰图”其实就是求解最大矩形的“孤岛”,它不会干扰到外部。
(3)由于比heights[i]大的元素都出完了,heights[i]又大于等于栈顶元素了,因此再次进栈。如此往复,
直到遍历到最后那个高度为0的柱,触发最后的弹出以及最后一次面积的计算。。。。
(4)返回面积最大值。
另外,需要注意的是:栈中存的不是高度,而是heights的索引,这样做的好处是:
不会影响宽度的计算,索引值相减 = 宽度。
c++代码:
class Solution { public: int largestRectangleArea(vector<int>& heights) { if(heights.size()==0) return 0; stack<int> st; int max=0; heights.push_back(0); int leftarea=0,rightarea=0; for(int i=0;i<heights.size();i++) { while(!st.empty() && heights[st.top()]>heights[i]) { int tmp=st.top(); st.pop(); //以tmp为高度,tmp所在柱以及向左延伸出来的矩形面积 leftarea=(st.empty()? tmp+1 : tmp-st.top())*heights[tmp]; //以tmp为高度,向右边延伸出来的矩形面积 rightarea=(i-tmp-1)*heights[tmp]; if( (leftarea+rightarea)>max ) max=leftarea+rightarea; } st.push(i); } return max; } };python代码:
class Solution(object): def largestRectangleArea(self, heights): """ :type heights: List[int] :rtype: int """ if len(heights)==0: return 0 l=[] #用列表来模拟一个栈 maxArea=0; heights.append(0) leftArea,rightArea=0,0 for i in range(0,len(heights)): while len(l)!=0 and heights[l[len(l)-1]]>heights[i]: tmp=l[len(l)-1] l.pop() #以tmp为高度,tmp所在柱以及向左延伸出来的矩形面积 leftArea=(tmp+1 if len(l)==0 else tmp-l[len(l)-1])*heights[tmp] #以tmp为高度,向右边延伸出来的矩形面积 rightArea=(i-tmp-1)*heights[tmp] if (leftArea+rightArea)>maxArea: maxArea=leftArea+rightArea l.append(i) return maxArea
参考资料:点击打开链接
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