51nod-【1639 1639 绑鞋带】

1639 绑鞋带


基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 20 难度：3级算法题


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有n根鞋带混在一起，现在重复n次以下操作：随机抽出两个鞋带头，把它们绑在一起。可以想象，这n次之后將不再有单独的鞋带头，n条鞋带系成了一些环。那么有多大概率刚好所有这些鞋带只形成了一个环？

Input

仅一行，包含一个整数n  (2<=n<=1000)。

Output

输出一行，为刚好成环的概率。

Input示例

2

Output示例

0.666667

分析了好长时间，还是看了其他人的题解；
我们用f
代表n根鞋带围成一个圈的组合数
sum
代表n根鞋带的所有的组合数
我们 1、分析f
:这里用到的思想插空法
比如有3根鞋带f[3];那么我们需要求出n=4的情况；3根

鞋带分别表示为

(1-a),(2-b),(3-c);第4根鞋带(4-d)就有4个位置可以插入
①(1-a) ②(2-b) ③(3-c) ④因为需要组成一个环，所以

插入①④的位置会得到相同的结果，那么我们就有3个

位置可以插入，每插入一个位置

有2种情况(4-d)和(d-4);所以f[4]=3*2*f[3];
那么就可以推导出公式为：f
=(n-1)*2*f[n-1];
2、分析sum
：这里用到的思想是递推从n-1到n的过度 
假设我们已知sum[n-1];如何增加第n个鞋带呢？
分为2中情况：㈠ 第n个鞋带自己组成一个环这时候的sum

的组合数与sum[n-1]相同
㈡ 第n根鞋带和前面的n-1根鞋带绑在一起从n-1根鞋带里面挑

出来一根和第n根鞋带绑在一起2*(n-1);
所以sum
=2*(n-1)*sum[n-1]+sum[n-1]=(2*n-1)*sum[n-1]

AC代码：

#include<cstdio>
int main()
{
int n,i;
scanf("%d",&n);
double ans=1.0;
for(i=2;i<=n;++i)
ans=2.0*(i-1)/(2*i-1)*ans;
printf("%lf\n",ans);
return 0;
}