【GDOI2017模拟12.3】告别

Description

给出两个1~n的排列A和B，可以进行m次操作，每次操作随机选择一个三元组(i,j,k)，将这个三元组所对应的数在A中进行轮换（即i->j,j->k,k->i）

求在m次操作之内将A变成B的概率，答案对998244353取模

n<=14,m<=1e9

Solution

乍一看根本无法下手啊。。。

看到n辣么小m辣么大就知道是矩乘可是不会做。。。

如果n再小一点我们可以直接维护状态然后转移，但这样状态太多了

我们考虑怎样压缩状态数。。。

先把B对应成1~n的有序排列，然后我们就只需要对A进行轮换了。。。

一个很好的思路是我们可以用A中的所有置换群来表示A。。。

我们这样只用记录每个置换群的大小就好了，因为只需要本质不同的。。。

B唯一对应n个1，所以不用担心算重。。。

这样设的状态数是n的划分数，n=14时为135

转移的话先枚举状态，随便构造一个满足状态的排列，然后暴力枚举三元组转移，判断转移后的状态是哪一个，这个地方用hash/map/二分之类的就好了

然后把矩阵构造出来直接矩阵乘法就好了

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=15,M=135,mo=998244353;
int a
,c
,w
,h
,x,s,n,m,tot;
bool bz
;
struct note{
int a
;
friend bool operator == (note x,note y) {
fo(i,1,n) if (x.a[i]!=y.a[i]) return 0;
return 1;
}
friend bool operator < (note x,note y) {
fo(i,1,n) if (x.a[i]<y.a[i]) return 1;
else if (x.a[i]>y.a[i]) return 0;
return 1;
}
}q[M],d;
struct matrix{
int a[M][M];
friend matrix operator * (matrix y,matrix z) {
matrix x;memset(x.a,0,sizeof(x.a));
fo(i,0,tot) fo(j,0,tot) fo(k,0,tot) (x.a[i][j]+=(ll)y.a[i][k]*z.a[k][j]%mo)%=mo;
return x;
}
}g,t;
void dfs(int x,int la) {
if (x==n) {
memcpy(q[tot++].a,d.a,sizeof(d.a));
return;
}
fo(i,la,n-x) d.a[i]++,dfs(x+i,i),d.a[i]--;
}
int mi(int x,int y) {
int z=1;
for(;y;y/=2,x=(ll)x*x%mo) if (y&1) z=(ll)z*x%mo;
return z;
}
note displace(int *a) {
memset(bz,0,sizeof(bz));
note A;memset(A.a,0,sizeof(A.a));
fo(i,1,n) if (!bz[i]) {
int x=i,size=0;
while (!bz[x]) bz[x]=1,x=a[x],size++;
A.a[size]++;
}
return A;
}
int find(note x) {
int l=0,r=tot;
while (l<r) {
int mid=(l+r)/2;
if (q[mid]<x) r=mid;
else l=mid+1;
}
return l;
}
int main() {
freopen("goodbye.in","r",stdin);
freopen("goodbye.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);dfs(0,1);tot--;
int ni=mi(mi(n*(n-1)*(n-2),m),mo-2);
fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]),w[a[i]]=i;
fo(i,1,n) {
scanf("%d",&x);
a[w[x]]=i;
}
note A=displace(a);g.a[0][0]=n*(n-1)*(n-2);
fo(i,0,tot) if (q[i]==A) {s=i;break;}
fo(i,1,tot) {
memset(c,0,sizeof(c));int len=0;
fo(j,1,n) fo(k,1,q[i].a[j]) {
fo(l,len+1,len+j-1) c[l]=l+1;
c[len+j]=len+1;len+=j;
}
fo(j,1,n) fo(k,1,n) if (j!=k)
fo(l,1,n)  if (j!=l&&k!=l) {
swap(c[j],c[k]);swap(c[j],c[l]);
note C=displace(c);
g.a[i][find(C)]++;
swap(c[j],c[l]);swap(c[j],c[k]);
}
}
memcpy(t.a,g.a,sizeof(t.a));
for(m--;m;m/=2,g=g*g) if (m&1) t=t*g;
printf("%lld\n",(ll)t.a[s][0]*ni%mo);
}