BZOJ - 3517 翻硬币（异或）

题目：

Description

有一个n行n列的棋盘，每个格子上都有一个硬币，且n为偶数。每个硬币要么是正面朝上，要么是反面朝上。每次操作你可以选定一个格子(x,y)，然后将第x行和第y列的所有硬币都翻面。求将所有硬币都变成同一个面最少需要的操作数。

Input

第一行包含一个正整数n。
接下来n行，每行包含一个长度为n的01字符串，表示棋盘上硬币的状态。

Output

仅包含一行，为最少需要的操作数。

Sample Input

4
0101
1000
0010
0101

Sample Output

2

Hint

【样例说明】

对(2,3)和(3,1)进行操作，最后全变成1。

【数据规模】

对于100%的数据，n ≤ 1,000。

分析：(以下6个数组都是0-1数组，S也是0或1)

假设输入矩阵是num[i][j]，第i行的异或和是row[i]，第j行的异或和是col[j]（0<=i<n,0<=j<n）

要求的矩阵是xnum[i][j]，第i行的异或和是xrow[i]，第j行的异或和是xcol[j]，n*n个xnum[i][j]的异或和为S

因为不知道最后是全部变成1还是全部变成0，所以有2种情况

第一种情况：

那么根据题意，num[i][j]^xrow[i]^xcol[j]^xnum[i][j]=0   ------（1）

将（1）式中的j取遍0至n-1，再将n个式子求异或，根据异或的交换性和结合性从而化简得到：

row[i]^(xrow[i]*n%2)^S^xrow[i]=0

因为n是偶数所以row[i]^S^xrow[i]=0   ------（2）

同理col[j]^S^xcol[j]=0   ------（3）

（1）（2）（3）式的异或和为num[i][j]^row[i]^col[j]^xnum[i][j]=0

即xnum[i][j]=num[i][j]^row[i]^col[j]

第二种情况：

与第一种情况同理，xnum[i][j]=num[i][j]^row[i]^col[j]^1

第一种情况和第二种情况刚好完全互补，其中1较少的那种就是结果

无论是第一种还是第二种，由num计算xnum的方法和由xnum计算num的方法是一样的，这是一种高度的对称性，这一点，和点亮所有的灯十分相似

代码：

#include <iostream>
using namespace std;

int num[1001][1001], row[1001], col[1001];

int main()
{
int n, sum = 0;
cin >> n;
char c;
for (int i = 0; i < n; i++)row[i] = col[i] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)for (int j = 0; j < n; j++)
{
cin >> c;
num[i][j] = c - '0';
row[i] += num[i][j], col[j] += num[i][j];
}
for (int i = 0; i < n; i++)for (int j = 0; j < n; j++)
sum += (row[i] + col[j] + num[i][j]) % 2;
cout << ((sum * 2>n*n) ? n*n - sum : sum) << endl;
return 0;
}