【数论】【逆元】【贪心】HDU5976 Detachment

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题意:

给出一个数x，存在∑ni=1ai=x，ai!=aj使得∏ni=1最大，求∏ni=1的最大值。

解题思路：

容易发现要使得积最大，要把x分得尽可能小。所以把x分成2，3，4，5,…,i的形式。从2开始是因为分成1并不会使积更大。如果x能直接分成这个形式，就可以直接得出答案。如果多出了k,则把后k个数后移一个单位，其中后移的时候要考虑k大于已存在的数的个数的情况。

预处理前缀积来节省时间。考虑到前缀积相除不好取模，所以用后一个积乘以前一个积的逆元。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<string>
#include<algorithm>
#define MAXN 103000
typedef long long ll;
const static ll MOD = 1000000007;
using namespace std;
ll sum[MAXN];
ll s[MAXN];
ll re[MAXN];
ll extend_euclid(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(!b){
x = 1;
y = 0;
return a;
}
ll d = extend_euclid(b,a%b,x,y);
ll t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
return d;
}

int main(){
ll T,x,tmp,ans;
ll t = 2;
s[0] = sum[0] = 2;
extend_euclid(s[0],MOD,re[0],tmp);
re[0] = (re[0] + MOD) % MOD;
for(int i = 1;i<MAXN;i++){
sum[i] = ++t + sum[i-1];
s[i] = t * s[i-1]%MOD;
extend_euclid(s[i],MOD,re[i],tmp);
re[i] = (re[i] + MOD) % MOD;
}
scanf("%I64d",&T);
while(T--){
scanf("%I64d",&x);
if(x < 5){
printf("%I64d\n",x);
continue;
}
int ind = lower_bound(sum,sum+MAXN,x)-sum;
if(sum[ind] == x){
printf("%I64d\n",s[ind]);
continue;
}
ind--;
ll k = x - sum[ind];
if(k != ind + 2){
ans = s[ind + 1] * (re[ind-k+1]) % MOD;
if(ind - k >= 0)
ans = ans * s[ind - k] % MOD;

}else{
ans = s[ind] * re[0] % MOD;
ans = ans * (ind + 4) % MOD;
}
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}